Giải mục 1 trang 26, 27, 28

Hoạt động 1

Số lượng cá thể vi khuẩn của một mẻ nuôi cấy tuân theo công thức $P\left(t\right)={50.10}^{kt}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm bắt đầu nuôi cấy, $k$ là hằng số.

(Nguồn: Sinh học 10, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017, trang 101)

a) Ban đầu mẻ có bao nhiêu cá thể vi khuẩn?

b) Sau 1 giờ thì mẻ có 100 cá thể vi khuẩn. Tìm giá trị của $k$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

c) Sau bao lâu thì số lượng cá thể vi khuẩn đạt đến 50000?

Phương pháp giải:

a) Thay $t=0$ vào công thức $P\left(t\right)={50.10}^{kt}$.

b) Thay $t=1,P\left(t\right)=100$ vào công thức $P\left(t\right)={50.10}^{kt}$.

c) Thay $P\left(t\right)=50000$ vào công thức $P\left(t\right)={50.10}^{kt}$.

Lời giải chi tiết:

a) Số cá thể vi khuẩn ban đầu mẻ có là:

$P\left(0\right)={50.10}^{k.0}={50.10}^0=50$ (cá thể)

b) Với $t=1,P\left(t\right)=100$ ta có:

$P\left(1\right)={50.10}^{k.1}\iff 100={50.10}^k\iff {10}^k=2\iff k=\log 2\approx 0,3$

c) Thời gian để số lượng cá thể vi khuẩn đạt đến 50000 là:

$50000={50.10}^{0,3t}\iff {10}^{0,3t}=1000\iff 0,3t=\log 1000\iff 0,3t=3\iff t=10$ (giờ)

Hoạt động 2

Cho đồ thị của hai hàm số $y=a^x$ và $y=b$ như Hình 2a (với $a>0$) hay Hình 2b (với $0<a<1$). Từ đây, hãy nhận xét về số nghiệm và công thức nghiệm của phương trình $a^x=b$ trong hai trường hợp $b>0$ và $b\le 0$.

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị, dựa vào số điểm chung của đồ thị của hai hàm số $y=a^x$ và $y=b$.

Lời giải chi tiết:

Khi $b>0$, đồ thị của hai hàm số $y=a^x$ và $y=b$ cắt nhau tại một điểm duy nhất. Khi đó phương trình $a^x=b$ có nghiệm duy nhất $x={\log }_{a}b$.

Khi $b\le 0$, đồ thị của hai hàm số $y=a^x$ và $y=b$ không có điểm chung. Khi đó phương trình $a^x=b$  vô nghiệm.

Thực hành 1

Giải các phương trình sau:

a) $3^{x+2}=\sqrt[3]{39}$;

b) ${2.10}^{2x}=30$;

c) $4^{2x}=8^{2x-1}$.

Phương pháp giải:

a) b) Đưa về phương trình $a^x=b$.

c) Đưa 2 vế của phương trình về cùng cơ số.

Lời giải chi tiết:

a) $3^{x+2}=\sqrt[3]{39}\iff 3^{x+2}=9^{\frac{1}{3}}\iff 3^{x+2}={\left(3^2\right)}^{\frac{1}{3}}\iff 3^{x+2}=3^{\frac{2}{3}}\iff x+2=\frac{2}{3}\iff x=-\frac{4}{3}$

b) ${2.10}^{2x}=30\iff {10}^{2x}=15\iff 2x=\log 15\iff x=\frac{1}{2}\log 15$

c) $4^{2x}=8^{2x-1}\iff {\left(2^2\right)}^{2x}={\left(2^3\right)}^{2x-1}\iff 2^{4x}=2^{6x-3}\iff 4x=6x-3\iff -2x=-3\iff x=\frac{3}{2}$

Vận dụng 1

Công thức tính khối lượng còn lại của một chất phóng xạ từ khối lượng ban đầu $M_0$ là $M\left(t\right)=M_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$, trong đó $t$ là thời gian tính từ thời điểm ban đầu và $T$ là chu kì bán rã của chất. Đồng vị plutonium-234 có chu kì bản rã là 9 giờ.

(Nguồn: https://pubchem.ncbi.nlm.nih.gov/element/Plutonium#section=Atomic- Mass-Half-Life-and-Decay)

Từ khối lượng ban đầu 200 g, sau bao lâu thì sau bao lâu thì khối lượng plutonium-234 còn lại là:

a) 100 g?                          

b) 50 g?                            

c) 20 g?

Phương pháp giải:

Thay $M_0=200,T=9$ và giá trị của $M\left(t\right)$ vào công thức $M\left(t\right)=M_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$.

Lời giải chi tiết:

a) Với $M_0=200,T=9,M\left(t\right)=100$ ta có:

$100=200{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{9}}\iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{9}}=\frac{1}{2}\iff \frac{t}{9}=1\iff t=9$

Vậy sau 9 giờ thì khối lượng plutonium-234 ban đầu 200 g còn lại là 100 g.

b) Với $M_0=200,T=9,M\left(t\right)=50$ ta có:

$50=200{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{9}}\iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{9}}=\frac{1}{4}\iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{9}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\iff \frac{t}{9}=2\iff t=18$

Vậy sau 18 giờ thì khối lượng plutonium-234 ban đầu 200 g còn lại là 50 g.

c) Với $M_0=200,T=9,M\left(t\right)=20$ ta có:

$20=200{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{9}}\iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{9}}=\frac{1}{10}\iff \frac{t}{9}={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{10}\iff \frac{t}{9}={\log }_{2}10\iff t=9{\log }_{2}10\approx 29,9$

Vậy sau 29,9 giờ thì khối lượng plutonium-234 ban đầu 200 g còn lại là 50 g.