Giải mục 1 trang 26, 27

Sơ đồ khảo sát hàm số

Đề bài

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 26 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hàm số $y = x^{2} - 4 x + 3$ . Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Tính y’ và tìm các điểm tại đó $y^{'} = 0$ .

b) Xét dấu y’ để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của hàm số.

c) Tính $lim_{x \to - \infty} y$ , $lim_{x \to + \infty} y$ và lập bảng biến thiên của hàm số.

d) Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính y’. Giải phương trình $y^{'} = 0$ .

b) Sử dụng kiến thức về định lí về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến: Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên khoảng K.

+ Nếu $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f (x)$ đồng biến trên khoảng K.

+ Nếu $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f (x)$ nghịch biến trên khoảng K.

Sử dụng kiến thức về định lí cực trị hàm số để tìm cực trị hàm số: Giả sử hàm số $y = f (x)$ liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_{0}$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a; x_{0})$ và $(x_{0}; b)$ . Khi đó:

+ Nếu $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in (a; x_{0})$ và $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (x_{0}; b)$ thì điểm $x_{0}$ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

+ Nếu $f^{'} (x) > 0$ với mọi $x \in (a; x_{0})$ và $f^{'} (x) < 0$ với mọi $x \in (x_{0}; b)$ thì điểm $x_{0}$ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

d) Đồ thị hàm số bậc hai $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ nhận đường thẳng $x = \frac{- b}{2 a}$ làm trục đối xứng.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = R$ .

Ta có: $y^{'} = 2 x - 4$ ;

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 2 x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ .

Vậy với $x = 2$ thì $y^{'} = 0$ .

b) Trên khoảng $(- \infty; 2)$ , $y^{'} < 0$ nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng $(2; + \infty)$ , $y^{'} > 0$ nên hàm số đồng biến.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2,$ giá trị cực tiểu $y_{C T} = - 1$ . Hàm số không có cực đại.

c) $lim_{x \to - \infty} y = lim_{x \to - \infty} (x^{2} - 4 x + 3)$

$= lim_{x \to - \infty} [x^{2} (1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}})] = + \infty$ .

$lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} (x^{2} - 4 x + 3)$

$= lim_{x \to + \infty} [x^{2} (1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}})] = + \infty$ .

Bảng biến thiên:

d) Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{2} - 4 x + 3$ với trục tung là $(0; 3)$ .

Ta có: $x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = 1 \end{array}$ . Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $(3; 0); (1; 0)$ .

Điểm $(4; 3)$ thuộc đồ thị hàm số $y = x^{2} - 4 x + 3$ .

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = 2$ làm trục đối xứng.

d) Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{2} - 4 x + 3$ với trục tung là $(0; 3)$ .

Ta có: $x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 3 \\ x = 1 \end{array}$ . Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm $(3; 0); (1; 0)$ .

Điểm $(4; 3)$ thuộc đồ thị hàm số $y = x^{2} - 4 x + 3$ .

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = 2$ làm trục đối xứng.