Giải mục 1 trang 28, 29, 30, 31

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 28 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-2x^2-x+2$ có đồ thị minh họa ở Hình 11.

a) Quan sát Hình 11, hãy cho biết các hình phẳng $H_1,H_2,H_3$ lần lượt được giới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị hàm số nào.

b) Tính diện tích $S_{H_1},S_{H_2},S_{H_3}$ của các hình phẳng đó.

c) Gọi H là tập hợp của các hình phẳng $H_1,H_2,H_3$. Hình phẳng H được gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 3. Chứng tỏ rằng diện tích $S_H$ của hình phẳng H bằng $S_H=S_{H_1}+S_{H_2}+S_{H_3}=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$.

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình vẽ.

b) Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$.

c) Sử dụng tính chất của tích phân $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Lời giải chi tiết:

a) Hình $H_1$ được giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, x = 1 và đồ thị hàm số y = f(x).

Hình $H_2$ được giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = f(x).

Hình $H_3$ được giới hạn bởi các đường thẳng x = 2, x = 3 và đồ thị hàm số y = f(x).

b) $S_{H_1}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^3-2x^2-x+2\right)dx$

$={\left(\frac{x^4}{4}-\frac{2}{3}{x}^3-\frac{x^2}{2}+2x\right)|}_0^1=\frac{13}{12}$.

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^3-2x^2-x+2\right)dx$

$={\left(\frac{x^4}{4}-\frac{2}{3}{x}^3-\frac{x^2}{2}+2x\right)|}_1^2=-\frac{5}{12}\Rightarrow S_{H_2=}\frac{5}{12}$.

$S_{H_3}=\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x^3-2x^2-x+2\right)dx$

$={\left(\frac{x^4}{4}-\frac{2}{3}{x}^3-\frac{x^2}{2}+2x\right)|}_2^3=\frac{37}{12}$.

c) $S_H=S_{H_1}+S_{H_2}+S_{H_3}$

$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\left|\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx\right|+\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 29 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong Hình 13, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=x^2-2x$, trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 3.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=x^2-2x$, trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 3 là:

$\underset{-1}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-2x\right|dx=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left|x^2-2x\right|dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-2x\right|dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-2x\right|dx$

$=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(x^2-2x\right)dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[-\left(x^2-2x\right)\right]dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x^2-2x\right)dx$

$=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|\begin{array}{c}{}^0\\ {}_{-1}\end{array}-\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|\begin{array}{c}{}^2\\ {}_0\end{array}+\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|\begin{array}{c}{}^3\\ {}_2\end{array}$

$=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|\begin{array}{c}{}^0\\ {}_{-1}\end{array}-\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|\begin{array}{c}{}^2\\ {}_0\end{array}+\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|\begin{array}{c}{}^3\\ {}_2\end{array}$

$=-\left[\frac{{(-1)}^3}{3}-{(-1)}^2\right]-\left(\frac{2^3}{3}-2^2\right)+\left[\left(\frac{3^3}{3}-3^2\right)-\left(\frac{2^3}{3}-2^2\right)\right]$

$=\frac{4}{3}-\left(-\frac{4}{3}\right)+\frac{4}{3}=4$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 30 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho các hàm số $y=2^x$, y = x.

Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số $y=2^x$.

Gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = x.

Gọi S là phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=2^x$, y = x và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (Hình 14).

a) Biểu diễn S theo $S_1,S_2$.

b) So sánh S và $\underset{1}{\overset{2}{\int }}(2^x-x)dx$.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

a) $S=S_1-S_2$.

b) $S=S_1-S_2$.

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}(2^x-x)dx=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{2}^{x}dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx=S_1-S_2$.

Vậy $S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}(2^x-x)dx$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 31 SGK Toán 12 Cánh diều

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=10-x^2$, $y=x^2+2$ và hai đường thẳng x = -2, x = 2.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $10-x^2>x^2+2$ với mọi $x\in [-2;2]$.

Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=10-x^2$, $y=x^2+2$ và hai đường thẳng x = -2, x = 2 là:

$S=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left|(10-x^2)-(x^2+2)\right|dx$

$=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left[(10-x^2)-(x^2+2)\right]dx$

$=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}(8-2x^2)dx=\left(8x-\frac{2x^3}{3}\right)|\begin{array}{c}{}^2\\ {}_{-2}\end{array}$

$=\left(8.2-\frac{{2.2}^3}{3}\right)-\left[8.(-2)-\frac{2.{(-2)}^3}{3}\right]$

$=\frac{32}{3}-\left(-\frac{32}{3}\right)=\frac{64}{3}$.