Giải mục 1 trang 3, 4, 5

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 3 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hàm số $F\left(x\right)=x^3$, $x\in (-\infty ;+\infty )$. Tính $F^{\prime }\left(x\right)$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

$F^{\prime }\left(x\right)=3x^2$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 4 SGK Toán 12 Cánh diều

Hàm số F(x) = cotx là nguyên hàm của hàm số nào? Vì sao?

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Hàm số F(x) = cotx là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ vì $(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 4 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hàm số $F\left(x\right)=x^3-1,x\in R$ và $G\left(x\right)=x^3+5,x\in R$.

a) Cả hai hàm số F(x) và G(x) có phải nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3x^2$ trên $R$ hay không?

b) Hiệu F(x) - G(x) có phải là một hằng số C (không phụ thuộc vào x) hay không?

Phương pháp giải:

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Lời giải chi tiết:

a) $F^{\prime }\left(x\right)=x^3-1=3x^2$.

$G^{\prime }\left(x\right)=x^3+5=3x^2$.

Vậy cả hai hàm số F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số$f\left(x\right)=3x^2$ trên $R$.

b) F(x) - G(x) = -6 là một hằng số C.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 4 SGK Toán 12 Cánh diều

Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên $R$.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Do (sin x)' = cos x nên sin x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên $R$.

Vậy mọi nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx đều có dạng sinx + C, với C là một hằng số.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 5 SGK Toán 12 Cánh diều

Chứng tỏ rằng $\int k{x}^{2}dx=\frac{k}{3}{x}^2+C$ $(k\ne 0)$.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Do ${\left(\frac{k}{3}{x}^3\right)}^{\prime }=k{x}^2$ nên $\frac{k}{3}{x}^3$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=k{x}^2$ với trên $R$.

Vậy $\int k{x}^{2}dx=\frac{k}{3}{x}^2+C$ $(k\ne 0)$.