Giải mục 1 trang 34, 35

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

a) Nêu nhận xét về vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

$\alpha ={90}^o$;

$\alpha <{90}^o$;

$\alpha >{90}^o$.

b) Khi $0^o<\alpha <{90}^o$, nêu mối quan hệ giữa $\cos \alpha$, $\sin \alpha$ với hoành độ và tung độ của điểm M.

Phương pháp giải:

a) Quan sát góc $\alpha =\widehat{xOM}$ trong các trường hợp tương ứng. Khi ấy M thuộc cung nào?

b) Khi $0^o<\alpha <{90}^o$ thì $\cos \alpha =\frac{\left|x_0\right|}{OM}$, $\sin \alpha =\frac{\left|y_0\right|}{OM}$, trong đó $OM=R=1$.

Lời giải chi tiết:

a) Khi $\alpha ={90}^o$, điểm M trùng với điểm C. (Vì $\widehat{xOC}=\widehat{AOC}={90}^o$.

Khi $\alpha <{90}^o$, điểm M thuộc vào cung AC (bên phải trục tung).

Khi $\alpha >{90}^o$, điểm M thuộc vào cung BC (bên trái trục tung).

b) Khi $0^o<\alpha <{90}^o$, ta có:

$\cos \alpha =\frac{\left|x_0\right|}{OM}=\left|x_0\right|=x_0$;

$\sin \alpha =\frac{\left|y_0\right|}{OM}=\left|y_o\right|=y_o$.

Vì $OM=R=1$; $x_0\in$ tia $Ox$nên $x_0>0$; $y_0\in$tia $Oy$ nên $y_0>0$.

Vậy $\cos \alpha$ là hoành độ $x_0$ của điểm M, $\sin \alpha$ là tung độ $y_0$ của điểm M.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 35 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Tìm các giá trị lượng giác của góc ${120}^o$ (H.3.4).

Phương pháp giải:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={120}^o$.

Khi đó hoành độ và tung độ của điểm M lần lượt là các giá trị $\cos {120}^o$, $\sin {120}^o$.

Từ đó suy ra $\tan {120}^o=\frac{\sin {120}^o}{\cos {120}^o}$, $\cot {120}^o=\frac{\cos {120}^o}{\sin {120}^o}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={120}^o$.

Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Vì  $\widehat{xOM}={120}^o>{90}^o$ nên M nằm bên trái trục tung.

Khi đó: $\cos {120}^o=-ON$, $\sin {120}^o=OP$.

Vì $\widehat{xOM}={120}^o$ nên $\widehat{NOM}={180}^o-{120}^o={60}^o$ và $\widehat{POM}={120}^o-{90}^o={30}^o$.

Vậy các tam giác $\Delta MON$ và $\Delta MOP$ vuông tại N, p và có một góc bằng ${30}^o$

$\Rightarrow ON=MP=\frac{1}{2}OM=\frac{1}{2}$ (trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc ${30}^o$ bằng một nửa cạnh huyền).

Và $OP=MN=\sqrt{O{M}^2-O{N}^2}$

$=\sqrt{1^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Vậy điểm M có tọa độ là $\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Và $\cos {120}^o=-\frac{1}{2}$; $\sin {120}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\Rightarrow \tan {120}^o=\frac{\sin {120}^o}{\cos {120}^o}=\frac{\sqrt{3}}{2}:\left(-\frac{1}{2}\right)=-\sqrt{3}$;

$\cot {120}^o=\frac{\cos {120}^o}{\sin {120}^o}=\left(-\frac{1}{2}\right):\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Chú ý

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc ${120}^o$.

Với các loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS) ta làm như sau:

Bấm phím “SHIFT”  “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ).

Tính $\sin {120}^o$, bấm phím:  sin  1  2  0  ${}^o$’’’  = ta được kết quả là $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Tính $\cos {120}^o$,bấm phím:  cos  1  2  0  ${}^o$’’’  = ta được kết quả là $\frac{-1}{2}$.

Tính $\tan {120}^o$, bấm phím:  tan  1  2  0  ${}^o$’’’  = ta được kết quả là $-\sqrt{3}$.

(Để tính $\cot {120}^o$, ta tính $1:\tan {120}^o$).