Giải mục 1 trang 37, 38, 39

Hoạt động 1

Quãng đường rơi tự do của một vật được biểu diễn bởi công thức $s\left(t\right)=4,9t^2$ với $t$ là thời gian tính bằng giây và $s$ tính bằng mét.

Vận tốc trung bình của chuyển động này trên khoảng thời gian $\left[5;t\right]$ hoặc $\left[t;5\right]$ được tính bằng công thức $\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}$.

a) Hoàn thiện bảng sau về vận tốc trung bình trong những khoảng thời gian khác nhau. Nêu nhận xét về $\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}$ khi $t$ càng gần 5.

b) Giới hạn $\underset{t\to 5}{lim}\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}$ được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0=5$. Tính giá trị này.

c) Tính giới hạn $\underset{t\to t_0}{lim}\frac{s\left(t\right)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}$ để xác định vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$ nào đó trong quá trình rơi của vật.

Phương pháp giải:

a) Thay vào công thức $\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}$.

b) c) Sử dụng các quy tắc tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

a)

$\begin{array}{c}\begin{array}{c}\left[5;5,1\right]\end{array}:t=5,1\Rightarrow \frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.5,1^2-4,{9.5}^2}{5,1-5}=49,49\\ \begin{array}{c}\left[5;5,05\right]\end{array}:t=5,05\Rightarrow \frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.5,{05}^2-4,{9.5}^2}{5,05-5}=49,245\\ \begin{array}{c}\left[5;5,01\right]\end{array}:t=5,01\Rightarrow \frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.5,{01}^2-4,{9.5}^2}{5,01-5}=49,049\\ \begin{array}{c}\left[5;5,001\right]\end{array}:t=5,001\Rightarrow \frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.5,{001}^2-4,{9.5}^2}{5,001-5}=49,0049\\ \begin{array}{c}\left[4,999;5\right]\end{array}:t=4,999\Rightarrow \frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.4,{999}^2-4,{9.5}^2}{4,999-5}=48,9951\\ \begin{array}{c}\left[4,99;5\right]\end{array}:t=4,99\Rightarrow \frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\frac{4,9.4,{99}^2-4,{9.5}^2}{4,99-5}=48,951\end{array}$

Ta thấy: $\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}$ càng gần 49 khi $t$ càng gần 5.

b)

$\begin{array}{c}\underset{t\to 5}{lim}\frac{s\left(t\right)-s\left(5\right)}{t-5}=\underset{t\to 5}{lim}\frac{4,9t^2-4,{9.5}^2}{t-5}=\underset{t\to 5}{lim}\frac{4,9\left(t^2-5^2\right)}{t-5}=\underset{t\to 5}{lim}\frac{4,9\left(t-5\right)\left(t+5\right)}{t-5}\\ =\underset{t\to 5}{lim}4,9\left(t+5\right)=4,9\left(5+5\right)=49\end{array}$

c)

$\begin{array}{c}\underset{t\to t_0}{lim}\frac{s\left(t\right)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}=\underset{t\to 5}{lim}\frac{4,9t^2-4,9.t_0^2}{t-t_0}=\underset{t\to 5}{lim}\frac{4,9\left(t^2-t_0^2\right)}{t-t_0^2}=\underset{t\to 5}{lim}\frac{4,9\left(t-t_0\right)\left(t+t_0\right)}{t-t_0}\\ =\underset{t\to 5}{lim}4,9\left(t+t_0\right)=4,9\left(t_0+t_0\right)=9,8t_0\end{array}$

Thực hành 1

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^3$.

Phương pháp giải:

Tính giới hạn $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Lời giải chi tiết:

Với bất kì $x_0\in R$, ta có:

$\begin{array}{c}f\prime \left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x^3-{x_0}^3}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\left(x-x_0\right)\left(x^2+x.x_0+{x_0}^2\right)}{x-x_0}\\ =\underset{x\to x_0}{lim}\left(x^2+x.x_0+{x_0}^2\right)=x^2+x_0.x_0+{x_0}^2=3{x_0}^2\end{array}$

Vậy $f^{\prime }\left(x\right)={\left(x^3\right)}^{\prime }=3x^2$ trên $R$.

Vận dụng

Với tình huống trong Hoạt động mở đầu, hãy tính vận tốc tức thời của chuyển động lúc $t=2$.

Phương pháp giải:

Tính $v\left(2\right)=s^{\prime }\left(2\right)$ với $s\left(t\right)=4,9t^2$.

Lời giải chi tiết:

Với bất kì $t_0\in R$, ta có:

$s^{\prime }\left(t_0\right)=\underset{t\to t_0}{lim}\frac{s\left(t\right)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}=9,8t_0$.

Vậy $s^{\prime }\left(t\right)=9,8t$ trên $R$.

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc $t=2$ là:

$v\left(2\right)=s^{\prime }\left(2\right)=9,8.2=19,6$ $\left(m/s\right)$