Giải mục 1 trang 38, 39 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 38 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.

a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực tế ứng với 1 cm trên bản vẽ).

b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilomet (số đo gần đúng).

c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?

Phương pháp giải:

a)

Bước 1: Xác định các hướng Đông, tây, nam, bắc. Giả sử tàu xuất phát từ điểm O.

Bước 2: Tính quãng đường đi theo từng hướng sau 1,5 giờ.

Bước 3: Vẽ sơ đồ đường đi.

b)

Bước 1: Đo khoảng cách từ điểm xuất phát tới tàu trên sơ đồ.

Bước 2: Quy ra khoảng cách thực tế.

c)

Bước 1: Vẽ sơ đồ đường đi.

Bước 2: Tính khoảng cách từ cảng tới tàu dựa vào định lí Pythagore.

Lời giải chi tiết:

a) Giả sử tàu xuất phát từ điểm O như hình dưới.

Trong 1 giờ, tàu di chuyển từ O đến A với quãng đường là: 20.1 = 20 (km) tương ứng với 20 cm trên sơ đồ.

Trong 0,5 giờ tiếp theo, tàu di chuyển từ A đến B với quãng đường là: 20.0,5 = 10 (km) tương ứng với 10 cm trên sơ đồ.

b)

Trên sơ đồ, khoảng cách từ cảng đến tàu là đoạn OB dài khoảng 28 cm.

Do đó khoảng cách từ cảng đến tàu thực tế khoảng 28 km.

c)

Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì sơ đồ đường đi của tàu như sau:

Sau 2 giờ đầu, tàu đi từ O đến A, với quãng đường là 20.2 = 40 (km) tương ứng 40 cm trên sơ đồ.

Sau đó, tàu chuyển sang hướng nam, vị trí của tàu là điểm B.

Khi đó ta có thể tính chính xác khoảng cách từ cảng đến tàu, chính là đoạn OB (do tam giác OAB vuông tại A) dựa vào định lí Pythagore: $O B = \sqrt{O A^{2} + A B^{2}}$ .

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 38 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b, c và giá trị lượng giác của góc A

a) Tính $a^{2}$ theo $B D^{2}$ và $C D^{2}$ .

b) Tính $a^{2}$ theo b, c và DA.

c) Tính DA theo c và $\cos A$ .

d) Chứng minh $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ .

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore với tam giác BCD.

b) Bước 1: Tính BD theo DA và c (định lí Pythagore cho tam giác BDA).

Bước 2: Thay DC bởi DA + b.

Bước 3: Thế BD và DC ở trên vào biểu thức ở ý a).

c)

Bước 1: Tính $\cos A$ theo $\cos α$ .

Bước 2: Tính DA theo c và $\cos α$ .

Bước 3: Suy ra công thức tính DA theo c và $\cos A$ .

Lời giải chi tiết:

a) Xét tam giác BDC vuông tại D, theo định lý Pythagore ta có:

$a^{2} = B D^{2} + D C^{2}$ (1)

b) Xét tam giác vuông BDA ta có:

${\begin{cases} B A^{2} = B D^{2} + D A^{2} \Rightarrow B D^{2} = B A^{2} - D A^{2} = c^{2} - D A^{2} \\ \cos α = \frac{D A}{c} \Rightarrow D A = c . \cos α \end{cases}$

Lại có: DC = DA + AC = DA + b. Thế vào (1):

$\Rightarrow a^{2} = (c^{2} - D A^{2}) + {(D A + b)}^{2}$ (2).

c) Xét tam giác vuông BDA ta có:

$\cos α = \frac{D A}{c} \Rightarrow D A = c . \cos α$ .

Mà $\cos α = - \cos A$ (do góc $α$ và góc A bù nhau).

$\Rightarrow D A = - c . \cos A$ .

d) Thế $D A = - c . \cos A$ vào (2) ta được:

$a^{2} = [c^{2} - {(- c . \cos A)}^{2}] + {(- c . \cos A + b)}^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2} = (c^{2} - c^{2} . \cos^{2} A) + (c^{2} . \cos^{2} A - 2 b c . \cos A + b^{2})$

$\Leftrightarrow a^{2} = c^{2} - c^{2} . \cos^{2} A + c^{2} . \cos^{2} A - 2 b c . \cos A + b^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A$ (đpcm).

CH

Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của định lí cosin hay không?

Lời giải chi tiết:

Theo định lí cosin ta có:

$\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A \\ b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c . \cos B \\ c^{2} = b^{2} + a^{2} - 2 a b . \cos C \end{array}$

Mà $\cos A = \cos 90^{o} = 0$ , $\cos B = \frac{c}{a}$ , $\cos C = \frac{b}{a}$

$\Rightarrow {\begin{cases} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c .0 \\ b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c . \frac{c}{a} \\ c^{2} = b^{2} + a^{2} - 2 a b . \frac{b}{a} \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} a^{2} = b^{2} + c^{2} \\ b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a^{2} \\ c^{2} = b^{2} + a^{2} - 2 b^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow a^{2} = b^{2} + c^{2}$ .

Vậy định lí Pythagore là một trường hợp đặc biệt của định lí cosin.

KP

Trả lời câu hỏi Khám phá trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Từ định lí cosin, hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Từ định lí cosin cho tam giác ABC:

$\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A \\ b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c . \cos B \\ c^{2} = b^{2} + a^{2} - 2 a b . \cos C \end{array}$

Rút ra công thức tính cos A, cos B, cos C.

Lời giải chi tiết:

Định lí cosin: Trong tam giác ABC:

$\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A (1) \\ b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c . \cos B (2) \\ c^{2} = b^{2} + a^{2} - 2 a b . \cos C (3) \end{array}$

Ta có $(1) \Leftrightarrow 2 b c \cos A = b^{2} + c^{2} - a^{2} \Leftrightarrow \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} .$

Tương tự từ (2) và (3) ta suy ra $\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$ ; $\cos C = \frac{b^{2} + a^{2} - c^{2}}{2 b a}$

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và $\hat{A} = 45^{o}$ . Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính cạnh BC (tương ứng là a) theo công thức $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A$ .

Bước 2: Tính cos B (theo công thức $\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$ ) từ đó suy ra góc B.

Bước 3: Tính góc C.

Lời giải chi tiết:

$B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C \cos A}$

$= \sqrt{5^{2} + 8^{2} - 2.5.8 \cos 45^{o}} \approx 5, 7$ .

$\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2 A B . B C} = \frac{5^{2} + 5, 7^{2} - 8^{2}}{2.5.5, 7} \approx - 0, 12 \Rightarrow B \approx 97^{o}$ .

$C = 180^{o} - A - B \approx 180^{o} - 45^{o} - 97^{o} \approx 38^{o}$ .

Vậy tam giác ABC có BC = 5,7, $B = 97^{o}$ , $C = 38^{o}$ .

TN

Trả lời câu hỏi Trải nghiệm trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Vẽ một tam giác ABC, sau đó đo độ dài các cạnh, số đo góc A và kiểm tra tính đúng đắn của định lí cosin tại đỉnh A đối với tam giác đó.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC như hình dưới:

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh A ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A$

$\Leftrightarrow B C^{2} = 6^{2} + 4, 3^{2} - 2.6.4, 3. \cos 67, 61^{o}$

$\Leftrightarrow B C^{2} \approx 34, 835$

$\Leftrightarrow B C \approx 5, 9$ .

Như vậy kết quả thu được từ định lí xấp xỉ với kết quả đo được.

Nói các khác định lí cosin tại đỉnh A là đúng.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Dùng định lí cosin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ1b.

Phương pháp giải:

Khoảng cách giữa tàu và cảng Vân Phong:

$O B^{2} = O A^{2} + A B^{2} - 2. O A . A B . \cos \hat{O A B}$ .

Lời giải chi tiết:

Tàu xuất phát từ cảng Vân Phong, đi theo thướng Đông với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc.

Giả sử sau 1,5 giờ tàu ở vị trí điểm B.

Ta đã có: quãng đường OA = 20 (km) và quãng đường AB = 10 (km).

Ngoài ra $\hat{O A B} = 135^{o}$ (do tàu đi theo hướng đông nam).

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh A ta được:

$O B^{2} = O A^{2} + A B^{2} - 2. O A . A B . \cos \hat{O A B}$ .

$\Leftrightarrow O B^{2} = 20^{2} + 10^{2} - 2.20.10. \cos 135^{o}$

$\Leftrightarrow O B^{2} \approx 782, 84$

$\Leftrightarrow O B \approx 27, 98$ .

Vậy khoảng cách từ tàu tới cảng Vân Phong xấp xỉ 27,98 km.