Giải mục 1 trang 39, 40 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Hoạt động 1

Cho hai phân thức $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{x + 1}$ .

a) Tìm đa thức thích hợp cho mỗi ô ?

$\frac{1}{x} = \frac{?}{x (x + 1)};$

$\frac{1}{x + 1} = \frac{?}{x (x + 1)} .$

b) Em có nhận xét gì về mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức trong câu a?

Phương pháp giải:

a) Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức này với mẫu của phân thức kia.

b) Dựa vào bài làm ý a.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $\frac{1}{x} = \frac{(x + 1)}{x (x + 1)}$

$\frac{1}{x + 1} = \frac{x}{x (x + 1)} .$

b) Mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức trong câu a đều bằng $x (x + 1)$ và chính là tích mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức.

Luyện tập 1

Tìm một mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{2 x + 3}{27 x^{2} - 9 x}$ và $\frac{x - 4}{36 x^{3} - 12 x^{2}}$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Ta phân tích mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử.

Bước 2: Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích của các nhân tử bằng số của các mẫu thức ở bước 1

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy $27 x^{2} - 9 x = 9 x (3 x - 1)$ và $36 x^{3} - 12 x^{2} = 12 x^{2} (3 x - 1)$

Vậy mẫu thức chung của hai phân thức có thể là $36 x^{2} (3 x - 1)$

Hoạt động 2

Muốn quy đồng hai phân thức $\frac{2 x + 3}{27 x^{2} - 9 x}$ và $\frac{x - 4}{36 x^{3} - 12 x^{2}}$ nêu trong luyện tập 1 thì cần nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với đa thức nào?

Phương pháp giải:

Ta tìm mẫu thức chung:

Bước 1: Ta phân tích mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử.

Bước 2: Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích của các nhân tử bằng số của các mẫu thức ở bước 1

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $27 x^{2} - 9 x = 9 x (3 x - 1)$ ; $36 x^{3} - 12 x^{2} = 12 x^{2} (3 x - 1)$

Vậy mẫu thức chung là: $36 x^{2} (3 x - 1)$

Để quy đồng hai phân thức $\frac{2 x + 3}{27 x^{2} - 9 x}$ và $\frac{x - 4}{36 x^{3} - 12 x^{2}}$ ta cần nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{2 x + 3}{27 x^{2} - 9 x}$ với $4 x$ và nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{x - 4}{36 x^{3} - 12 x^{2}}$ với $3$

Luyện tập 2

Quy đồng mẫu thức hai phân thức $\frac{x + 1}{4 x^{3} - 8 x^{2}}$ và $\frac{2 x - 3}{6 x {(x - 2)}^{2}}$ .

Phương pháp giải:

Ta tìm mẫu thức chung

Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức;

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Hai phân thức có mẫu thức chung là $12 x^{2} {(x - 2)}^{2}$

Ta có $\frac{x + 1}{4 x^{3} - 8 x^{2}} = \frac{x + 1}{4 x^{2} (x - 2)} = \frac{(x + 1) .3 . (x - 2)}{4 x^{2} (x - 2) .3 . (x - 2)} = \frac{3 (x - 1) (x - 2)}{12 x^{2} {(x - 2)}^{2}}$

$\frac{2 x - 3}{6 x {(x - 2)}^{2}} = \frac{(2 x - 3) .2 x}{6 x {(x - 2)}^{2} .2 x} = \frac{2 x (2 x - 3)}{12 x^{2} {(x - 2)}^{2}}$