Giải mục 1 trang 40, 41

HĐ1

Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (H.3.1)

a) Tìm tọa độ các giao điểm của elip với các trục tọa độ

b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc elip thì các điểm có tọa độ $(x_{0}; - y_{0}), (- x_{0}; y_{0}), (- x_{0}; - y_{0})$ cũng thuộc Elip.

c) Với điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc elip, hãy so sánh $O M^{2}$ với $a^{2}, b^{2}$

Lời giải chi tiết:

$y = 0 \Rightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 \Rightarrow x = \pm a$

Giao điểm của elip với Ox là $A_{1} (- a; 0), A_{2} (a; 0) .$

$x = 0 \Rightarrow \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow y = \pm b$

Giao điểm của elip với Oy là $B_{1} (0; - b), B_{2} (0; b) .$

b) Nếu điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc elip thì $\frac{{x_{0}}^{2}}{a^{2}} + \frac{{y_{0}}^{2}}{b^{2}} = 1$

$\Rightarrow \frac{{x_{0}}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = 1; \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} + \frac{{y_{0}}^{2}}{b^{2}} = 1; \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = 1$

hay các điểm có tọa độ $(x_{0}; - y_{0}), (- x_{0}; y_{0}), (- x_{0}; - y_{0})$ cũng thuộc Elip.

c) Từ H.3.1 dễ thấy $a > b$

$\begin{matrix} \Rightarrow \frac{{x_{0}}^{2}}{a^{2}} + \frac{{y_{0}}^{2}}{a^{2}} \leq \frac{{x_{0}}^{2}}{a^{2}} + \frac{{y_{0}}^{2}}{b^{2}} \leq \frac{{x_{0}}^{2}}{b^{2}} + \frac{{y_{0}}^{2}}{b^{2}} \Leftrightarrow \frac{{x_{0}}^{2}}{a^{2}} + \frac{{y_{0}}^{2}}{a^{2}} \leq 1 \leq \frac{{x_{0}}^{2}}{b^{2}} + \frac{{y_{0}}^{2}}{b^{2}} \Leftrightarrow b^{2} \leq {x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} \leq a^{2} \Leftrightarrow b^{2} \leq O M^{2} \leq a^{2} \end{matrix}$

Luyện tập 1

Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Trong đó:

+ Độ dài trục lớn: $2 a$

+ Tiêu cự: $2 c = 2 \sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+ Độ dài trục lớn: $2 a = 10 \Rightarrow a = 5$

+ Tiêu cự: $2 c = 2 \sqrt{a^{2} - b^{2}} = 6 \Rightarrow \sqrt{5^{2} - b^{2}} = 3 \Rightarrow b^{2} = 16$

Phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

Luyện tập 2

(Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phương trình $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ và số k $(0 < k < 1)$ . Với mỗi điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc đường tròn, gọi $H (x_{0}; 0)$ là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho $H N = k H M$ (H.3.5)

a) Tính tọa độ của N theo $x_{0}; y_{0}; k .$

b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên Elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{{(k a)}^{2}} = 1$

Lời giải chi tiết:

Gọi $N (x_{N}; y_{N})$ .

N thuộc đoạn MH và $H N = k H M \Rightarrow - - \to H N = k - -- \to H M$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow (x_{N} - x_{0}; y_{N}) = k (0; y_{0}) \Leftrightarrow {\begin{matrix} x_{N} - x_{0} = k .0 y_{N} = k . y_{0} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x_{N} = x_{0} y_{N} = k . y_{0} \end{matrix} \end{matrix}$

Vì $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc (C) $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ nên

${x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} = a^{2} \Leftrightarrow {x_{N}}^{2} + {(\frac{y_{N}}{k})}^{2} = a^{2} \Leftrightarrow \frac{{x_{N}}^{2}}{a^{2}} + \frac{{y_{N}}^{2}}{{(k a)}^{2}} = 1$

Vậy N thuộc Elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{{(k a)}^{2}} = 1$