Giải mục 1 trang 41, 42, 43 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 41 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Xét các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ (Hình 5.1).

a) Tìm bốn vectơ có giá trị vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ .

b) Tìm hai vectơ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng $(A B C D)$ .

Phương pháp giải:

- Để tìm các vectơ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ , ta tìm các vectơ có phương vuông góc với các vectơ nằm trong mặt phẳng này.

- Để tìm các vectơ nằm trong mặt phẳng $(A B C D)$ , ta xét các vectơ có giá là các đoạn thẳng trong mặt phẳng đó hoặc song song với nó.

Lời giải chi tiết:

a)

- Các vectơ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ sẽ có phương vuông góc với mặt phẳng này. Các vectơ này sẽ có phương dọc theo trục $A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}, D D^{'}$ , vì các đoạn thẳng nối đỉnh giữa hai mặt phẳng song song $(A B C D)$ và $(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ đều vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ .

- Các vectơ cần tìm là:

$\vec{A A^{'}}, \vec{B B^{'}}, \vec{C C^{'}}, \vec{D D^{'}}$

Đây là các vectơ có giá trị vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ , vì chúng có phương dọc theo chiều cao của hình hộp chữ nhật, vuông góc với mặt phẳng đáy $(A B C D)$ .

b)

- Các vectơ nằm trong mặt phẳng $(A B C D)$ có phương song song với các cạnh của hình chữ nhật $A B C D$ .

- Hai vectơ không cùng phương có thể lấy như sau:

$\vec{A B}, \vec{A C}$

Đây là các vectơ có giá nằm trong mặt phẳng $(A B C D)$ , lần lượt dọc theo hai cạnh của hình chữ nhật $A B C D$ .

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 42 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình chóp $S . A B C D$ với $A B C D$ là hình vuông và $S A$ vuông góc với $(A B C D)$ .

a) Tìm một vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng $(A B C D)$ , $(S A B)$ , $(S A D)$ , và $(S A C)$ .

b) Tìm hai cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(S C D)$ .

Phương pháp giải:

- Vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng là một vectơ vuông góc với tất cả các vectơ thuộc mặt phẳng đó.

- Hai vectơ chỉ phương của một mặt phẳng là hai vectơ không đồng phương và cùng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

a)

- Mặt phẳng $(A B C D)$ :

Theo đề bài, ta có $S A$ vuông với mặt phẳng $(A B C D)$ nên $\vec{S A}$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A B C D)$ .

- Mặt phẳng $(S A B)$ :

Ta chọn các vectơ chỉ phương:

$\vec{S A}, \vec{A B}$

Theo đề bài, ta có $D A$ vuông góc với $\vec{S A}, \vec{A B}$ nên $\vec{D A}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(S A B)$ .

- Mặt phẳng $(S A D)$ :

Chọn các vectơ chỉ phương:

$\vec{S A}, \vec{A D}$

Theo đề bài, ta có $B A$ vuông góc với $\vec{S A}, \vec{A D}$ nên $\vec{B A}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(S A D)$ .

- Mặt phẳng $(S A C)$ :

Chọn các vectơ chỉ phương:

$\vec{S A}, \vec{A C}$

Theo đề bài, ta có $B D$ vuông góc với $\vec{S A}, \vec{A C}$ nên $\vec{B D}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(S A C)$ .

b)

Các vectơ chỉ phương của mặt phẳng này là:

$\vec{S C}, \vec{C D}$ và $\vec{S D}, \vec{D C}$

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 42 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(α)$ có cặp vectơ chỉ phương $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ và $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ (Hình 5.4). Xét vectơ $\vec{n}$ được xác định như sau:

$\vec{n} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$

Tính $\vec{n} \cdot \vec{a}$ và $\vec{n} \cdot \vec{b}$ . Vectơ $\vec{n}$ có phải là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Giả sử hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có tọa độ lần lượt là:

$\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$

Công thức tích vô hướng của chúng là:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

Lời giải chi tiết:

- Tính tích vô hướng $\vec{n} \cdot \vec{a}$ :

Ta có:

$\vec{n} \cdot \vec{a} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) a_{1} + (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) a_{2} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) a_{3}$

Sau khi phân tích và đơn giản hóa, kết quả sẽ là $0$ .

- Tính tích vô hướng $\vec{n} \cdot \vec{b}$ :

Tương tự:

$\vec{n} \cdot \vec{b} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}) b_{1} + (a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) b_{2} + (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) b_{3}$

Sau khi tính toán, kết quả cũng là $0$ .

Vì $\vec{n} \cdot \vec{a} = 0$ và $\vec{n} \cdot \vec{b} = 0$ , vectơ $\vec{n}$ vuông góc với cả $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Do đó, $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ .

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 43 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện $A B C D$ có các đỉnh là $A (5; 1; 3)$ , $B (1; 6; 2)$ , $C (5; 0; 4)$ và $D (4; 0; 6)$ . Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ chứa cạnh $A B$ và song song với cạnh $C D$ .

Phương pháp giải:

Vì mặt phẳng $(α)$ chứa cạnh $A B$ và song song với cạnh $C D$ , nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ sẽ vuông góc với cả $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ là tích có hướng của hai vectơ:

$\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{C D}$ .

Lời giải chi tiết:

Tính vectơ chỉ phương của các cạnh:

$\vec{A B} = B - A = (1 - 5, 6 - 1, 2 - 3) = (- 4, 5, - 1)$

$\vec{C D} = D - C = (4 - 5, 0 - 0, 6 - 4) = (- 1, 0, 2)$

Tính tích có hướng $\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{C D}$ :

$\vec{n} = | \begin{matrix} i & j & k \\ - 4 & 5 & - 1 \\ - 1 & 0 & 2 \end{matrix} |$

Tính từng bước:

$\vec{n} = i | \begin{matrix} 5 & - 1 \\ 0 & 2 \end{matrix} | - j | \begin{matrix} - 4 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix} | + k | \begin{matrix} - 4 & 5 \\ - 1 & 0 \end{matrix} |$

$= i (5 \cdot 2 - (- 1) \cdot 0) - j (- 4 \cdot 2 - (- 1) \cdot (- 1)) + k (- 4 \cdot 0 - 5 \cdot (- 1))$

$= i (10) - j (- 8 - 1) + k (5)$

$= (10, 9, 5)$

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α)$ là:

$\vec{n} = (10, 9, 5)$