Giải mục 1 trang 41, 42, 43 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 44 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian, cho điểm M và vectơ $\vec{u}$ khác vectơ- không. Khẳng định nào trong hai khẳng định sau là đúng?

a) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và vuông góc với giá của $\vec{u}$ .

b) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với giá của $\vec{u}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giá của vectơ trong không gian để tìm câu đúng: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ.

Lời giải chi tiết:

Khẳng định đúng: Có duy nhất đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với giá của $\vec{u}$ .

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 42 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về vectơ chỉ phương của đường thẳng để xác định: Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $Δ$ .

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng AB nhận các vectơ $\vec{A B}, \vec{A^{'} B^{'}}, \vec{B^{'} A^{'}}, \vec{B A}$ là các vectơ chỉ phương.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 42 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc không đổi $\vec{u} = (a; b; c) \neq \vec{0}$ và xuất phát từ điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ (H.5.26).

a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?

b) Giả sử tại thời điểm t $(t > 0)$ tính từ khi xuất phát, vật thể ở vị trí $M (x; y; z) .$ Tính x, y, z theo a, b, c, $x_{0}; y_{0}; z_{0}$ và t.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về vectơ chỉ phương của đường thẳng để xác định: Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $Δ$ .

Lời giải chi tiết:

a) Vật chuyển động trên đường thẳng qua A và song song với giá của vectơ $\vec{u}$ (đi qua điểm A và vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\vec{u}$ ).

b) Tại thời điểm t, vật ở vị trí $M (x; y; z)$ nên: ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ .

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 43 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ : {\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 t \\ z = 1 + t \end{cases}$ .

a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc $Δ$ và một vectơ chỉ phương của $Δ$ .

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (1; 3; 1)$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về là vectơ chỉ phương của đường thẳng để xác định: Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ nếu giá của vectơ $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $Δ$ .

Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . Hệ phương trình ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ (t là tham số, $t \in R$ ).

Lời giải chi tiết:

a) Vì $Δ$ có phương trình ${\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 t \\ z = 1 + t \end{cases}$ nên điểm $M (2; 0; 1)$ và điểm $N (3; 3; 2)$ thuộc $Δ$ và $\vec{u} (1; 3; 1)$ là một vectơ chỉ phương của $Δ$ .

b) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O (0; 0; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (1; 3; 1)$ là: ${\begin{cases} x = t \\ y = 3 t \\ z = t \end{cases}$ .

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 43 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ (a, b, c là các số khác 0).

a) Điểm $M (x; y; z)$ thuộc $Δ$ khi và chỉ khi hai vectơ $\vec{A M} (x - x_{0}; y - y_{0}; z - z_{0})$ và $\vec{u} = (a; b; c)$ có mối quan hệ gì?

b) Điểm $M (x; y; z)$ thuộc $Δ$ khi và chỉ các phân số $\frac{x - x_{0}}{a}, \frac{y - y_{0}}{b}, \frac{z - z_{0}}{c}$ có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về là vectơ chỉ phương của đường thẳng để tìm mối quan hệ: Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ nếu giá của vectơ $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $Δ$ .

Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để để tìm mối quan hệ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . Hệ phương trình ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ (t là tham số, $t \in R$ ).

Lời giải chi tiết:

a) $\vec{A M}$ cùng phương với $\vec{u}$ .

b) Chúng bằng nhau.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 43 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{5}$ . Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của $Δ$ và hai điểm thuộc $Δ$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để tìm vectơ chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ .

Lời giải chi tiết:

Vì $Δ$ có phương trình $\frac{x - (- 1)}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{5}$ nên điểm $M (- 1; 1; 2)$ và điểm N(2; 2; 7) thuộc $Δ$ và $\vec{u} (3; 1; 5)$ là một vectơ chỉ phương của $Δ$ .

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 44 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (2; - 1; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 1; 2; 3)$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . Hệ phương trình ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ (t là tham số, $t \in R$ ).

Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ .

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $Δ$ có phương trình tham số là: ${\begin{cases} x = 2 - t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 3 t \end{cases}$ và phương trình chính tắc là: $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}$ .

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 44 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $M (2; - 1; 3)$ và vuông góc với mặt phẳng Oyz.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . Hệ phương trình ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ (t là tham số, $t \in R$ ).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (Oyz) có một vectơ pháp tuyến là $\vec{i} = (1; 0; 0)$ .

Vì đường thẳng $Δ$ vuông góc với mặt phẳng (Oyz) nên đường thẳng $Δ$ nhận $\vec{i} = (1; 0; 0)$ làm một vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của $Δ$ : ${\begin{cases} x = 2 + t \\ y = - 1 \\ z = 3 \end{cases}$ .

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 44 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ , $A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ .

a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng $A_{1} A_{2}$ .

b) Viết phương trình đường thẳng $A_{1} A_{2}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . Hệ phương trình ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ (t là tham số, $t \in R$ ).

Sử dụng kiến thức về phương trình chính tắc của đường thẳng để viết phương trình đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ với a, b, c là các số khác 0. Hệ phương trình $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $Δ$ .

Lời giải chi tiết:

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $A_{1} A_{2}$ là $\vec{A_{1} A_{2}}$ .

b) Đường thẳng $A_{1} A_{2}$ có vectơ chỉ phương là $\vec{A_{1} A_{2}} (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})$ .

Mà đường thẳng $A_{1} A_{2}$ đi qua điểm $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ nên phương trình đường thẳng tham số $A_{1} A_{2}$ là: ${\begin{cases} x = x_{1} + (x_{2} - x_{1}) t \\ y = y_{1} + (y_{2} - y_{1}) t \\ z = z_{1} + (z_{2} - z_{1}) t \end{cases}$ .

Phương trình chính tắc của đường thẳng $A_{1} A_{2}$ là: $\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{z - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}$ .

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 44 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 1; 3) và B(2; 4; 6).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt $A_{1} (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $A_{2} (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ .

Đường thẳng $A_{1} A_{2}$ có phương trình đường thẳng tham số là: ${\begin{cases} x = x_{1} + (x_{2} - x_{1}) t \\ y = y_{1} + (y_{2} - y_{1}) t \\ z = z_{1} + (z_{2} - z_{1}) t \end{cases} (t \in R)$ .

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng AB đi qua điểm $A (2; 1; 3)$ và có vectơ chỉ phương là $\vec{A B} (0; 3; 3)$ . Do đó:

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: ${\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 + 3 t \\ z = 3 + 3 t \end{cases}$ .

Vì $x_{A} = x_{B}$ nên không có phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 45 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

(H.5.27) Trong tình huống mở đầu hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN.

b) Tính tọa độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng Oxy.

c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm M và N hay không?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $Δ$ đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . Hệ phương trình ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ (t là tham số, $t \in R$ ).

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng MN đi qua điểm $M (2; 3; - 4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{M N} (- 3; - 3; 12)$ nên phương trình tham số của đường thẳng MN là: ${\begin{cases} x = 2 - 3 t \\ y = 3 - 3 t \\ z = - 4 + 12 t \end{cases} (t \in R)$ .

b) Mặt phẳng (Oxy) đi qua điểm $O (0; 0; 0)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{k} (0; 0; 1)$ nên phương trình mặt phẳng Oxy: $z = 0$ .

Vì D là giao điểm của đường thẳng MN với (Oxy) nên D $(2 - 3 t; 3 - 3 t; - 4 + 12 t)$ .

Mà D thuộc mặt phẳng (Oxy) nên $- 4 + 12 t = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{3}$ . Do đó, $D (1; 2; 0)$ .

c) Ta có: $M D = \sqrt{{(1 - 2)}^{2} + {(2 - 3)}^{2} + {(0 + 4)}^{2}} = 3 \sqrt{2}$ ;

$\vec{N D} (2; 2; - 8) \Rightarrow N D = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + {(- 8)}^{2}} = 6 \sqrt{2}$ ;

$M N = \sqrt{{(- 3)}^{2} + (- 3^{2}) + 12^{2}} = 9 \sqrt{2}$ .

Do đó, $M D + N D = M N$ . Mà D thuộc đường thẳng MN suy ra điểm D nằm giữa hai điểm M và N.

Do đó, tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N.