Giải mục 1 trang 42, 43 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo

HĐ1

Cho elip (E) có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < a)$ và cho điểm $M (x_{0}; y_{0})$ nằm trên (E). Các điểm $M_{1} (- x_{0}; y_{0}), M_{2} (x_{0}; - y_{0}), M_{3} (- x_{0}; - y_{0})$ có thuộc (E) hay không?

Lời giải chi tiết:

Nếu điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc elip thì $\frac{{x_{0}}^{2}}{a^{2}} + \frac{{y_{0}}^{2}}{b^{2}} = 1$

$\Rightarrow \frac{{x_{0}}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = 1; \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} + \frac{{y_{0}}^{2}}{b^{2}} = 1; \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = 1$

hay các điểm có tọa độ $M_{1} (- x_{0}; y_{0}), M_{2} (x_{0}; - y_{0}), M_{3} (- x_{0}; - y_{0})$ cũng thuộc Elip.

Thực hành 1

Viết phương trình chính tắc của elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của elip này.

Phương pháp giải:

Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(0 < b < a)$

+ 4 đỉnh là $A_{1} (- a; 0), A_{2} (a; 0), B_{1} (0; - b), B_{2} (0; b) .$

+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 2a và 2b.

+ Tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0),$

+ Tiêu cự: $2 c = 2 \sqrt{a^{2} - b^{2}}$

+ Độ dài trục lớn: $2 a$ , độ dài trục nhỏ: $2 b$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6.

$\Rightarrow$ Độ dài trục lớn: $2 a = 8 \Leftrightarrow a = 4$ , độ dài trục nhỏ: $2 b = 6 \Leftrightarrow b = 3$

Phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

+ 4 đỉnh là $A_{1} (- 4; 0), A_{2} (4; 0), B_{1} (0; - 3), B_{2} (0; 3) .$

+ Tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0),$

+ Tiêu cự: $2 c = 2 \sqrt{4^{2} - 3^{2}} = 2 \sqrt{7}$

+ Độ dài trục lớn: $2 a = 8$ , độ dài trục nhỏ: $2 b = 6$

Vận dụng 1

Hãy gấp một mảnh giấy hình elip (Hình 5) thành 4 phần chồng khít lên nhau

Lời giải chi tiết:

Tưởng tượng elip có phương trình chính tắc trên mặt phẳng tọa độ, khi đó ta chỉ cần gập theo các trục tọa độ.