Giải mục 1 trang 47, 48, 49, 50

HĐ1

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

a) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc hypebol thì các điểm có tọa độ $(x_0;-y_0),(-x_0;y_0),(-x_0;-y_0)$ cũng thuộc hypebol (H.3.12).

b) Tìm tọa độ các giao điểm của hypebol với trục hoành. Hypebol có cắt trục tung hay không? Vì sao?

c) Với điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc hypebol, hãy so sánh $\left|x_0\right|$ với $a$

Lời giải chi tiết:

a) Nếu điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc hypebol thì $\frac{{x_0}^2}{a^2}-\frac{{y_0}^2}{b^2}=1$

$\Rightarrow \frac{{x_0}^2}{a^2}-\frac{{(-y_0)}^2}{b^2}=1;\frac{{(-x_0)}^2}{a^2}-\frac{{y_0}^2}{b^2}=1;\frac{{(-x_0)}^2}{a^2}-\frac{{(-y_0)}^2}{b^2}=1$

hay các điểm có tọa độ $(x_0;-y_0),(-x_0;y_0),(-x_0;-y_0)$ cũng thuộc Hypebol.

b)

$y=0\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}=1\Rightarrow x=\pm a$

Giao điểm của hypebol với Ox là $A_1\left(-a;0\right),A_2\left(a;0\right).$

$x=0\Rightarrow -\frac{y^2}{b^2}=1$ Vô lý vì $-\frac{y^2}{b^2}\le 0<1$

Vậy hypebol không có giao điểm với trục tung.

c) $M(x_0;y_0)$ thuộc hypebol thì $\frac{{x_0}^2}{a^2}-\frac{{y_0}^2}{b^2}=1$

$\begin{array}{c}\Rightarrow 1=\frac{{x_0}^2}{a^2}-\frac{{y_0}^2}{b^2}\le \frac{{x_0}^2}{a^2}\\ \iff {x_0}^2\ge a^2\\ \iff \left|x_0\right|\ge a\end{array}$

Luyện tập 1

Cho hyperbol $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$.

a) Tìm tiêu cự và độ dài các trục

b) Tìm các đỉnh và các đường tiệm cận.

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Trong đó:

+ Tiêu cự: $2c=2\sqrt{a^2+b^2}$

+ Độ dài trục thực, trục ảo: $2a,2b$

+ Hai đỉnh $A_1(-a;0),A_2(a;0)$

+ Hai đường tiệm cận $y=-\frac{b}{a}x$ và $y=\frac{b}{a}x$

Lời giải chi tiết:

Ta có hypebol: $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$

$\Rightarrow a=8,b=6,c=\sqrt{a^2+b^2}=10$

a) + Tiêu cự: $2c=20$

+ Độ dài trục thực: $2a=16$; trục ảo $2b=12.$

b) + Hai đỉnh $A_1(-8;0),A_2(8;0)$

+ Hai đường tiệm cận $y=-\frac{3}{4}x$ và $y=\frac{3}{4}x$