Giải mục 1 trang 48, 49, 50 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Hoạt động 1

Trong bài toán ở phần mở đầu, giả sử r = 1,14%/năm.

a) Viết phương trình thể hiện dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu.

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của lũy thừa?

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức đã tìm được ở bài mở đầu rồi tính.

Lời giải chi tiết:

a) Phương trình thể hiện dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu là:

$S = 2 S . e^{1, 14. t} \Leftrightarrow 2 e^{1, 14 t} = 1 \Leftrightarrow e^{1, 14 t} = \frac{1}{2}$ .

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là t và nằm ở vị trí mũ của lũy thừa

Luyện tập – Vận dụng 1

Cho hai ví dụ về phương trình mũ.

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức vừa học để xác định phương trình mũ.

Lời giải chi tiết:

Hai ví dụ về phương trình mũ:

+) $4^{x + 1} = 2$ ;

+) $7^{2 x} = 49$ .

Hoạt động 2

a) Vẽ đồ thị hàm số $y = 3^{x}$ và đường thẳng y = 7.

b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình $3^{x} = 7$ .

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức đã học ở bài trước để vẽ đồ thị.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có bảng sau:

Ta có đồ thị sau:

b) Hai đồ thị $y = 3^{x}$ và y = 7 có 1 giao điểm. Vậy số nghiệm của phương trình $3^{x} = 7$ là 1.

Luyện tập – Vận dụng 2

Giải mỗi phương trình sau:

a) $9^{16 - x} = 27^{x + 4}$ .

b) $16^{x - 2} = 0, {25.2}^{- x + 4}$ .

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức vừa học về phương trình mũ để giải.

Lời giải chi tiết:

a) $9^{16 - x} = 27^{x + 4}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3^{2. (16 - x)} = 3^{3. (x + 4)} \\ \Leftrightarrow 2. (16 - x) = 3. (x + 4) \\ \Leftrightarrow 32 - 2 x - 3 x - 12 = 0 \\ \Leftrightarrow - 5 x = - 20 \\ \Leftrightarrow x = 4 \end{array}$

b) $16^{x - 2} = 0, {25.2}^{- x + 4}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2^{4 (x - 2)} = 0, {25.2}^{- x + 4} \\ \Leftrightarrow 2^{4 x - 8 + x - 4} = 0, 25 \\ \Leftrightarrow 2^{5 x - 12} = 0, 25 \\ \Leftrightarrow 5 x - 12 = \log_{2} 0, 25 \\ \Leftrightarrow 5 x - 12 = - 2 \\ \Leftrightarrow x = 2 \end{array}$

Hoạt động 3

Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: $p H = - \log [H^{+}]$ (Trong đó $[H^{+}]$ chỉ nống độ hydrogen). Đo chỉ số pH của một mẫu nước sông, ta có kết quả là pH = 6,1.

a) Viết phương trình thể hiện nồng độ x của ion hydrogen $[H^{+}]$ trong mẫu nước sông đó.

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của lôgarit?

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính pH để biểu diễn.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $- \log [H^{+}] = 6.1 \Leftrightarrow - \log x = 6, 1$ .

b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là x và nằm ở vị trí hệ số của logarit.

Luyện tập – Vận dụng 3

Cho hai ví dụ về phương trình logarit.

Phương pháp giải:

Dựa vào dạng phương trình logarit vừa học để làm

Lời giải chi tiết:

Hai ví dụ về phương trình logarit:

+) $\log_{2} (x + 1) = 8$ ;

+) $\log_{3} (x^{2} + x + 1) = 2$ .

Hoạt động 4

a) Vẽ đồ thị hàm số $y = \log_{4} x$ và đường thẳng y = 5.

b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình $\log_{4} x = 5$ .

Phương pháp giải:

Dựa vào cách vẽ đồ thị ở bài trên để vẽ.

Lời giải chi tiết:

a) Đồ thị hai hàm số:

b) Hai hàm số có 1 giao điểm. Phương trình $\log_{4} x = 5$ có 1 nghiệm.

Luyện tập – Vận dụng 4

Giải mỗi phương trình sau:

a) $\log_{5} (2 x - 4) + \log_{\frac{1}{5}} (x - 1) = 0$ .

b) $\log_{2} x + \log_{4} x = 3$ .

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để giải phương trình.

Lời giải chi tiết:

a) $\log_{5} (2 x - 4) + \log_{\frac{1}{5}} (x - 1) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > 2 \\ \log_{5} (2 x - 4) - \log_{5} (x - 1) = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x > 2 \\ \log_{5} (\frac{2 x - 4}{x - 1}) = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x > 2 \\ \frac{2 x - 4}{x - 1} = 1 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x > 2 \\ 2 x - 4 = x - 1 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} x > 2 \\ x = 3 \end{cases} \\ \Leftrightarrow x = 3 \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

b) $\log_{2} x + \log_{4} x = 3$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x > 0 \\ \log_{2} x + \log_{2^{2}} x = 3 \end{array} \\ \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x > 0 \\ \log_{2} x + \frac{1}{2} \log_{2} x = 3 \end{array} \end{array} \\ \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x > 0 \\ \frac{3}{2} \log_{2} x = 3 \end{array} \\ \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x > 0 \\ \log_{2} x = 2 \end{array} \\ \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x > 0 \\ x = 4 \end{array} \\ \Leftrightarrow x = 4 \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm x = 4.