Giải mục 1 trang 49

HĐ 1

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , ta xét hypebol (H) với phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ trong đó $a > 0, b > 0$ (Hình 13)

a) Tìm tọa độ của hai tiêu điểm $F_{1}, F_{2}$ của hypebol $(H)$

b) Hypebol $(H)$ cắt trục $O x$ tại các điểm $A_{1}, A_{2}$ . Tìm độ dài các đoạn thẳng $O A_{1}, O A_{2}$

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ trong đó $a > 0, b > 0$ . Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$

+ Độ dài trục thực: $2 a$ , độ dài trục ảo: $2 b$

Lời giải chi tiết:

a) $F_{1}, F_{2}$ là tiêu điểm của hypebol (H) có tọa độ $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$ với $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

b) $A_{1}, A_{2}$ là giao điểm của (H) với Ox $\Rightarrow y_{A_{1}} = y_{A_{2}} = 0 \Rightarrow \frac{{x_{A_{1}}}^{2}}{a^{2}} = 1; \frac{{x_{A_{2}}}^{2}}{a^{2}} = 1 \Rightarrow x_{A_{1}} = - a; x_{A_{2}} = a$

Hay $A_{1} (- a; 0), A_{2} (a; 0)$ $\Rightarrow O A_{1} = O A_{2} = a$

HĐ 2

Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , ta xét hypebol (H) với phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ trong đó $a > 0, b > 0$ (Hình 14). Cho điểm $M (x; y)$ nằm trên hypebol (H). Gọi $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc O. Các điểm $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ có nằm trên hypebol (H) không? Tại sao?

Lời giải chi tiết:

+ Điểm $M_{1} (x; - y)$ thuộc hypebol (H) vì $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{{(- y)}^{2}}{b^{2}} = 1$

+ Điểm $M_{2} (- x; y)$ thuộc hypebol (H) vì $\frac{{(- x)}^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

+ Điểm $M_{3} (- x; - y)$ thuộc hypebol (H) vì $\frac{{(- x)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(- y)}^{2}}{b^{2}} = 1$