Giải mục 1 trang 50, 51

HĐ1

Cho hypebol (H) với phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ và điểm $M (x_{0}; y_{0})$ nằm trên (H). Các điểm $M_{1} (- x_{0}; y_{0}), M_{2} (x_{0}; - y_{0}), M_{3} (- x_{0}; - y_{0})$ có thuộc (H) không?

Lời giải chi tiết:

Nếu điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc hypebol thì $\frac{{x_{0}}^{2}}{a^{2}} - \frac{{y_{0}}^{2}}{b^{2}} = 1$

$\Rightarrow \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} - \frac{{y_{0}}^{2}}{b^{2}} = 1; \frac{{x_{0}}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = 1; \frac{{(- x_{0})}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(- y_{0})}^{2}}{b^{2}} = 1$

hay các điểm $M_{1} (- x_{0}; y_{0}), M_{2} (x_{0}; - y_{0}), M_{3} (- x_{0}; - y_{0})$ cũng thuộc Hypebol.

Thực hành 1

Viết phương trình chính tắc của Hypebol có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của Hypebol này.

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Trong đó:

+ 4 đỉnh là $A_{1} (- a; 0), A_{2} (a; 0), B_{1} (0; - b), B_{2} (0; b) .$

+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 2a và 2b.

+ Tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0),$

+ Tiêu cự: $2 c = 2 \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

+ Độ dài trục thực: $2 a$ , độ dài trục ảo: $2 b$

Lời giải chi tiết:

+ Kích thước của hình chữ nhật cơ sở là $2 a = 8$ và $2 b = 6$ .

$\Rightarrow a = 4, b = 3, c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 5$

+ 4 đỉnh là $A_{1} (- 4; 0), A_{2} (4; 0), B_{1} (0; - 3), B_{2} (0; 3) .$

+ Tiêu điểm $F_{1} (- 5; 0), F_{2} (5; 0),$

+ Tiêu cự: $2 c = 10$

+ Độ dài trục thực: $2 a = 8$ , độ dài trục ảo: $2 b = 6$ .

Vận dụng 1

Khi bay với vận tốc siêu thanh (tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường), một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol (H) (Hình 4). Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Tính cao độ của máy bay, biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng là 40mile (mile (dặm) là đơn vị đo khoảng cách, 1 mile $\approx$ 1,6 km) và (H) có phương trình:

$\frac{x^{2}}{400} - \frac{y^{2}}{100} = 1$

Lời giải chi tiết:

+ Bề rộng của thảm nhiễu động là $2 | y_{M} |$ , với $M \in (H)$ và $x_{M} = - 40$

+ Cao độ của máy bay: $h = \frac{2 | y_{M} |}{5}$

Lời giải chi tiết

+ Bề rộng của thảm nhiễu động là $2 | y_{M} |$ , với $M \in (H)$ và $x_{M} = - 40$

$\Leftrightarrow \frac{{(- 40)}^{2}}{400} - \frac{{y_{M}}^{2}}{100} = 1 \Leftrightarrow y_{M} = \pm 10 \sqrt{3}$

+ Cao độ của máy bay: $h = \frac{2 | y_{M} |}{5} = \frac{2.10 \sqrt{3}}{5} = 4 \sqrt{3}$ (mile) $\approx 4 \sqrt{3} .1, 6 \approx 11$ (km).