Giải mục 1 trang 50, 51

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 50 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$  tương ứng có các vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$, $\overrightarrow{u^{\prime }}=\left(a^{\prime };b^{\prime };c^{\prime }\right)$. (H.5.34).

a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc $\left(\Delta ,{\Delta }^{\prime }\right)$ và $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right)$.

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa $\cos \left(\Delta ,{\Delta }^{\prime }\right)$ và $\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right)\right|$?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức giá của vectơ để chứng minh: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{u^{\prime }}$ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$. Do đó, giá của $\overrightarrow{u}$ song song với $\Delta$, giá của $\overrightarrow{u^{\prime }}$ song song với ${\Delta }^{\prime }$. Do đó:

+) $\left(\Delta ,{\Delta }^{\prime }\right)=\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right)$  nếu $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right)\le {90}^o$.

+) $\left(\Delta ,{\Delta }^{\prime }\right)={180}^o-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right)$  nếu $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right)>{90}^o$.

b) Ta có: $\cos \left(\Delta ,{\Delta }^{\prime }\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right)\right|$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 51 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-2}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$  tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right),\overrightarrow{u^{\prime }}=\left(a^{\prime };b^{\prime };c^{\prime }\right)$. Khi đó: $\cos \left(\Delta ,{\Delta }^{\prime }\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right)\right|=\frac{\left|a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{a{}^{\prime 2}+b{}^{\prime 2}+c{}^{\prime 2}}}$.

Lời giải chi tiết:

Trục Oz có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$, đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}\left(1;2;-2\right)$. Do đó, $\cos \left(Oz,\Delta \right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{k},\overrightarrow{u}\right)\right|=\frac{\left|0.1+0.2-1.2\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}.\sqrt{1^2+2^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{2}{3}$.

Suy ra: $\left(Oz,\Delta \right)\approx 48,2^o$.