Giải mục 1 trang 51, 52

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 51 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Với hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cho trước, lấy một điểm A vẽ các vectơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Lấy điểm A’ khác A và cũng vẽ các vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{b}$. Hỏi hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Xét độ dài và hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ để suy ra mối quan hệ của chúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ và độ dài $\overrightarrow{AB}$ bằng độ dài $\overrightarrow{a}$.

Ta lại có: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{a}$

$\Rightarrow \overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ và độ dài $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ bằng độ dài $\overrightarrow{a}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ và độ dài $\overrightarrow{AB}$ bằng độ dài $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\iff AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ (1)

Ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{b}$ và độ dài $\overrightarrow{BC}$ bằng độ dài $\overrightarrow{b}$.

Ta lại có: $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{b}$

$\Rightarrow \overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ cùng hướng với $\overrightarrow{b}$ và độ dài $\Rightarrow \overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ bằng độ dài $\overrightarrow{b}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ và độ dài $\overrightarrow{BC}$ bằng độ dài $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$.

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\iff B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\iff A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ là hình bình hành.

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Vậy $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 51 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ bằng cách thay vectơ $\overrightarrow{AD}$ bởi vectơ bằng nó mà có điểm đầu là B.

Bước 2: So sánh với vectơ $\overrightarrow{AC}$.

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD là hình bình hành nên $\{\begin{array}{c}AD//BC\\ AD=BC\end{array}$, hay $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 52 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$và vectơ $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

b) Trong Hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}$và vectơ $\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

Phương pháp giải:

Nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$ thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$ nên $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Mặt khác: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$.

Do đó $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

b) Theo câu a) ta có $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{c}$ nên $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.

Mặt khác: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{c}$ nên $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}$.

Và $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$.

Vậy $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 52 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho hình thoi ABCD cới cạnh có độ dài bằng 1 và $\widehat{BAD}={120}^o$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}$.

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ do hai vectơ $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{BA}$ cùng hướng và $CD=BA$.

$\Rightarrow \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$

$\iff \left|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=CA$.

Xét tam giác ABC, ta có:

$BA=BC$ và $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.\widehat{BAD}={60}^o$

$\Rightarrow \Delta ABC$ đều, hay $CA=BC=1$

Vậy $\left|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}\right|=1$.

Dựa vào tính chất kết hợp, ta có:

$\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}=\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}\right)+\overrightarrow{BA}$

$=\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}\right)+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$.

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=CA=1$.