Giải mục 1 trang 51, 52 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 51 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Với hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ cho trước, lấy một điểm A vẽ các vectơ $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$ . Lấy điểm A’ khác A và cũng vẽ các vectơ $\vec{A^{'} B^{'}} = \vec{a}, \vec{B^{'} C^{'}} = \vec{b}$ . Hỏi hai vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{A^{'} C^{'}}$ có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Xét độ dài và hướng của hai vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{A^{'} C^{'}}$ để suy ra mối quan hệ của chúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\vec{A B} = \vec{a}$

$\Rightarrow \vec{A B}$ cùng hướng với $\vec{a}$ và độ dài $\vec{A B}$ bằng độ dài $\vec{a}$ .

Ta lại có: $\vec{A^{'} B^{'}} = \vec{a}$

$\Rightarrow \vec{A^{'} B^{'}}$ cùng hướng với $\vec{a}$ và độ dài $\vec{A^{'} B^{'}}$ bằng độ dài $\vec{a}$ .

$\Rightarrow \vec{A B}$ cùng hướng với $\vec{A^{'} B^{'}}$ và độ dài $\vec{A B}$ bằng độ dài $\vec{A^{'} B^{'}}$ .

$\Rightarrow \vec{A B} = \vec{A^{'} B^{'}} \Leftrightarrow A B B^{'} A^{'}$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{A A^{'}} = \vec{B B^{'}}$ (1)

Ta có: $\vec{B C} = \vec{b}$

$\Rightarrow \vec{B C}$ cùng hướng với $\vec{b}$ và độ dài $\vec{B C}$ bằng độ dài $\vec{b}$ .

Ta lại có: $\vec{B^{'} C^{'}} = \vec{b}$

$\Rightarrow \vec{B^{'} C^{'}}$ cùng hướng với $\vec{b}$ và độ dài $\Rightarrow \vec{B^{'} C^{'}}$ bằng độ dài $\vec{b}$ .

$\Rightarrow \vec{B C}$ cùng hướng với $\vec{B^{'} C^{'}}$ và độ dài $\vec{B C}$ bằng độ dài $\vec{B^{'} C^{'}}$ .

$\Rightarrow \vec{B C} = \vec{B^{'} C^{'}} \Leftrightarrow B B^{'} C^{'} C$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{C C^{'}} = \vec{B B^{'}}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\vec{A A^{'}} = \vec{C C^{'}} \Leftrightarrow A A^{'} C^{'} C$ là hình bình hành.

$\Rightarrow \vec{A C} = \vec{A^{'} C^{'}}$ .

Vậy $\vec{A C} = \vec{A^{'} C^{'}}$ .

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 51 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\vec{A B} + \vec{A D}$ và $\vec{A C}$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định vectơ $\vec{A B} + \vec{A D}$ bằng cách thay vectơ $\vec{A D}$ bởi vectơ bằng nó mà có điểm đầu là B.

Bước 2: So sánh với vectơ $\vec{A C}$ .

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD là hình bình hành nên ${\begin{cases} A D / / B C \\ A D = B C \end{cases}$ , hay $\vec{A D} = \vec{B C}$ .

Do đó $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 52 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ và vectơ $\vec{b} + \vec{a}$ .

b) Trong Hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}$ và vectơ $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ .

Phương pháp giải:

Nếu $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$ thì $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$ nên $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Mặt khác: $\vec{A D} = \vec{b}, \vec{D C} = \vec{a}$ nên $\vec{b} + \vec{a} = \vec{A D} + \vec{D C} = \vec{A C}$ .

Do đó $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ .

b) Theo câu a) ta có $\vec{a} + \vec{b} = \vec{A C}$ và $\vec{C D} = \vec{c}$ nên $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{A C} + \vec{C D} = \vec{A D}$ .

Mặt khác: $\vec{B C} = \vec{b}, \vec{C D} = \vec{c}$ nên $\vec{b} + \vec{c} = \vec{B C} + \vec{C D} = \vec{B D}$ .

Và $\vec{a} = \vec{A B}$ nên $\vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{A B} + \vec{B D} = \vec{A D}$ .

Vậy $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ .

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 52 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho hình thoi ABCD cới cạnh có độ dài bằng 1 và $\hat{B A D} = 120^{o}$ . Tính độ dài của các vectơ $\vec{C B} + \vec{C D}, \vec{D B} + \vec{C D} + \vec{B A}$ .

Lời giải chi tiết:

$\vec{C D} = \vec{B A}$ do hai vectơ $\vec{C D}, \vec{B A}$ cùng hướng và $C D = B A$ .

$\Rightarrow \vec{C B} + \vec{C D} = \vec{C B} + \vec{B A} = \vec{C A}$

$\Leftrightarrow | \vec{C B} + \vec{C D} | = | \vec{C A} | = C A$ .

Xét tam giác ABC, ta có:

$B A = B C$ và $\hat{B A C} = \frac{1}{2} . \hat{B A D} = 60^{o}$

$\Rightarrow Δ A B C$ đều, hay $C A = B C = 1$

Vậy $| \vec{C B} + \vec{C D} | = 1$ .

Dựa vào tính chất kết hợp, ta có:

$\vec{D B} + \vec{C D} + \vec{B A} = (\vec{D B} + \vec{C D}) + \vec{B A}$

$= (\vec{C D} + \vec{D B}) + \vec{B A} = \vec{C B} + \vec{B A} = \vec{C A}$ .

$\Rightarrow | \vec{D B} + \vec{C D} + \vec{B A} | = | \vec{C A} | = C A = 1$ .