Giải mục 1 trang 54, 55

HĐ 1

a) Cho điểm M và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu của M trên a. Với mỗi điểm K thuộc a, vì sao MK ≥ MH  (H.7.74)

b) Cho điểm M và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của M trên (P). Với mỗi điểm K thuộc (P), giải thích vì sao MK ≥ MH (H.7.75).

Phương pháp giải:

Dựa vào mối quan hệ đường xiên và đường vuông góc.

Lời giải chi tiết:

a) Vì H là hình chiếu của M trên đường thẳng a, nên MH là khoảng cách từ M đến a và MH là đoạn thẳng ngắn nhất từ M đến a, suy ra MK ≥ MH.

b) Vì H là hình chiếu của M trên (P) nên MH vuông góc với (P) do đó MH vuông góc với HK.

Dựa vào mối quan hệ đường xiên và đường vuông góc ta có MK ≥ MH.

LT 1

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, AA' = h (H.7.77).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').

b) Tam giác ABC' là tam giác gì? Tính khoảng cách từ A đến BC'.

Phương pháp giải:

- Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a, kí hiệu d (M, a), là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên a.

- Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P), kí hiệu d (M, (P)), là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên (P).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $B{B}^{\prime }\perp \left(ABC\right)$, $B{B}^{\prime }\subset \left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)$

$\Rightarrow \left(ABC\right)\perp \left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)$.

$\left(ABC\right)\cap \left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)=BC$.

Xét trong (ABC): Kẻ $AH\perp BC$.

$\Rightarrow AH\perp \left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)\Rightarrow d\left(A,\left(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }\right)\right)=AH$.

Xét tam giác ABC vuông cân tại A có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{2}{a^2}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

b)

+) Ta có $AB\perp AC$, $AB\perp A{A}^{\prime }\left(A{A}^{\prime }\perp \left(ABC\right)\right)$

$\Rightarrow AB\perp \left(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$, $A{C}^{\prime }\subset \left(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }\right)\Rightarrow A{C}^{\prime }\perp AB$.

Do đó tam giác ABC' là tam giác vuông.

+) Trên (ABC’) kẻ $AK\perp B{C}^{\prime }\Rightarrow d\left(A,B{C}^{\prime }\right)=AK$.

Xét tam giác ACC’ vuông tại C có:

$A{C}^{\prime 2}=A{C}^2+C{C}^{\prime 2}=a^2+h^2$ (Định lí Pythagore).

Xét tam giác ABC’ vuông tại A có:

$\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C^{\prime }}^2}$

$=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2+h^2}=\frac{2a^2+h^2}{a^2\left(a^2+h^2\right)}$.

$\Rightarrow A{K}^2=\frac{a^2\left(a^2+h^2\right)}{2a^2+h^2}$

$\Rightarrow AK=a.\sqrt{\frac{a^2+h^2}{2a^2+h^2}}$.