Giải mục 1 trang 55, 56

1a và a có bằng nhau hay không? Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số 0, 1, . Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài -a và -1a có mối quan hệ gì? Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho vecto $\vec{A B} = \vec{a}$ . Hãy xác định điểm C sao cho $\vec{B C} = \vec{a}$ .

a) Tìm mối quan hệ giữa $\vec{A C}$ và $\vec{a} + \vec{a}$ .

b) Vecto $\vec{a} + \vec{a}$ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vecto $\vec{a}$ .

Phương pháp giải:

Hai vecto bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải chi tiết:

Xác định điểm C:

Trên tia AB lấy điểm C sao cho BC = a và B nằm giữa A, C.

a) Vì $\vec{A B} = \vec{a} = \vec{B C}$ nên A, B, C thẳng hàng và B là trung điểm của AC.

Vậy $\vec{a} + \vec{a}$ và $\vec{A C}$ cùng hướng, $| \vec{a} + \vec{a} | = 2. | \vec{A C} |$ .

b) Ta có: $\vec{a} + \vec{a}$ và $\vec{A B}$ cùng hướng, $| \vec{a} + \vec{a} | = 2. | \vec{A B} |$ .

Mà $\vec{A B} = \vec{a}$ nên: $\vec{a} + \vec{a}$ và $\vec{a}$ cùng hướng, $| \vec{a} + \vec{a} | = 2. | \vec{a} |$ .

CH1

Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 55 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

$1 \vec{a}$ và $\vec{a}$ có bằng nhau hay không?

Phương pháp giải:

Hai vecto bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: Vecto $1 \vec{a}$ cùng hướng với vecto $\vec{a}$ và $| 1 \vec{a} | = | \vec{a} |$ .

Vậy hai vecto $1 \vec{a}$ và $\vec{a}$ bằng nhau.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu diễn các số $0; 1; \sqrt{2}; - \sqrt{2}$ . Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto $\vec{O M}, \vec{O N}$ với vecto $\vec{a} = \vec{O A}$ . Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto $\vec{O M}$ và $\vec{O A}$ .

Phương pháp giải:

Vecto $k \vec{a}$ (với $k > 0, \vec{a} \neq \vec{0}$ ) là vecto cùng hướng với vecto $\vec{a}$ và có độ đài bằng $k | \vec{a} |$ .

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy:

Vecto $\vec{O M}$ và $\vec{O A}$ có cùng giá nên chúng cùng phương.

Mà vecto $\vec{O M}$ và $\vec{O A}$ cùng nằm trên tia OM nên chúng cùng chiều.

Vậy vecto $\vec{O M}$ và $\vec{O A}$ cùng hướng.

Ngoài ra, $| \vec{O M} | = O M = \sqrt{2}$ và $| \vec{O A} | = O A = 1$

$\Rightarrow | \vec{O M} | = \sqrt{2} . | \vec{O A} |$ .

Ta kết luận $\vec{O M} = \sqrt{2} . \vec{O A}$ .

Dễ thấy:

Vecto $\vec{O N}$ và $\vec{O A}$ có cùng giá nên chúng cùng phương.

Mà vecto $\vec{O N}$ và $\vec{O A}$ thuộc hai tia đối nhau nên chúng ngược chiều.

Vậy vecto $\vec{O N}$ và $\vec{O A}$ ngược hướng.

Ngoài ra, $| \vec{O N} | = O N = \sqrt{2}$ và $| \vec{O A} | = O A = 1$

$\Rightarrow | \vec{O N} | = \sqrt{2} . | \vec{O A} |$ .

Ta kết luận $\vec{O N} = - \sqrt{2} . \vec{O A}$ .

CH2

Trả lời câu hỏi Câu hỏi trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

$- \vec{a}$ và $(- 1) \vec{a}$ có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Vecto $k \vec{a}$ (với $k < 0$ , $\vec{a} \neq \vec{0}$ ) là vecto ngược hướng với vecto $\vec{a}$ và có độ đài bằng $| k | | \vec{a} |$ .

Lời giải chi tiết:

Vecto $- \vec{a}$ là vecto đối của vecto $\vec{a}$ .

$\Rightarrow - \vec{a}$ ngược hướng với vecto $\vec{a}$ và $| - \vec{a} | = | \vec{a} |$ .

Lại có:

Vecto $(- 1) \vec{a}$ là vecto ngược hướng với vecto $\vec{a}$ và có độ đài bằng $| - 1 | | \vec{a} | = | \vec{a} |$ .

$\Rightarrow - \vec{a}$ và $(- 1) \vec{a}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau (bằng vecto $\vec{a}$ ).

Hay $- \vec{a} = (- 1) \vec{a}$ .

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để $\vec{A M} = t . \vec{A B}$ .

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có $\vec{A M} = \frac{A M}{A B} . \vec{A B}$ .

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số $t \leq 0$ để $\vec{A M} = t . \vec{A B}$ .

Phương pháp giải:

$\vec{a}$ và $\vec{b} (\vec{b} \neq \vec{0})$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để $\vec{a} = k . \vec{b}$ .

Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng thì $k = \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |}$ .

Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng thì $k = - \frac{| \vec{a} |}{| \vec{b} |}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi hai vecto $\vec{A M}$ và $\vec{A B}$ cùng phương (cùng giá d).

Khi và chỉ khi tồn tại số t để $\vec{A M} = t . \vec{A B}$ .

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có $\vec{A M} = \frac{A M}{A B} . \vec{A B}$ .

Sai vì $\vec{A M} = \frac{A M}{A B} . \vec{A B}$ khi và chỉ khi $\vec{A M}$ và $\vec{A B}$ cùng hướng.

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB, tức là A nằm giữa M và B.

Khi và chỉ khi hai vecto $\vec{A M}$ và $\vec{A B}$ ngược hướng khi và chỉ khi tồn tại số $t < 0$ để $\vec{A M} = t . \vec{A B}$ .

Vậy khẳng định c) sai.