Giải mục 1 trang 55, 56

Quan sát hình ảnh cây cột và nền nhà (Hình 8.6). Xem nền nhà là hình ảnh của mặt phẳng (α)(α)\left( \alpha \right).

Hoạt động 1

Quan sát hình ảnh cây cột và nền nhà (Hình 8.6). Xem nền nhà là hình ảnh của mặt phẳng $(α)$ . Ta có cạnh $O O^{'}$ của cây cột tượng trưng cho một đường thẳng với $O$ tượng trưng cho một điểm thuộc $(α)$

a) Vẽ một đường thẳng $a$ nằm trong $(α)$ và $a$ không đi qua $O$ . Vẽ đường thẳng $a^{'}$ qua $O$ và song song với $a$ . Dùng ê ke kiểm tra $O O^{'}$ có vuông góc với đường thẳng $a^{'}$ hay không? Từ đó hãy tính góc giữa $O O^{'}$ và $a$ .

b) Gọi $d$ là đường thẳng bất kì nằm trong $(α)$ . Hỏi $O O^{'}$ có vuông góc với $d$ không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Để dùng eke kiểm tra vuông góc ta đặt cạnh của eke trùng với $O O^{'}$ , nếu cạnh eke còn lại trùng với đường thẳng $a$ thì $O O^{'}$ vuông góc với $a$

Lời giải chi tiết:

a) $O O^{'}$ có vuông góc với đường thẳng $a$ . Góc giữa $O O^{'}$ và đường thẳng $a$ bằng $90^{o}$

b) $O O^{'}$ vuông góc với $d$ vì $O O^{'}$ vuông góc với $(α)$

Luyện tập 1

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ và tam giác $A B C$ vuông tại $B$ .

a) Chứng minh rằng $B C$ vuông góc với mặt phẳng $(S A B)$

b) Biết $A H$ là đường cao của tam giác $S A B$ . Chứng minh $A H$ vuông góc với $S C$

Phương pháp giải:

a) Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Chứng minh $B C$ vuông góc với $S A$ và $A B$

b) Chứng minh $A H$ vuông góc với $B C$ và $S B$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $B C ⊥ A B$ vì $Δ A B C$ vuông tại $B$

Ta có $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C$

Ta có ${\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \\ S A \cap A B = {A} \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B)$

b) Ta có ${\begin{cases} B C ⊥ (S A B) \\ A H \subset (S A B) \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ A H$

Vì $A H$ là đường cao của tam giác $S A B$ $\Rightarrow A H ⊥ S B$

Ta có ${\begin{cases} A H ⊥ S B \\ A H ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow A H ⊥ (S B C)$