Giải mục 1 trang 57, 58, 59 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 1

Thả một dây dọi $A O$ chạm sàn nhà tại điểm $O$ . Kẻ một đường thẳng $x O y$ bất kì trên sàn nhà.

a) Dùng êke để kiểm tra xem $A O$ có vuông góc với $x O y$ không.

b) Nêu nhận xét về góc giữa dây dọi và một đường thẳng bất kì trong sàn nhà.

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh, thực hành kiểm tra.

Lời giải chi tiết:

a) $A O$ vuông góc với $x O y$ .

b) Góc giữa dây dọi và một đường thẳng bất kì trong sàn nhà là góc vuông.

Hoạt động 2

Cho đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng 2 cắt nhau $a$ và $b$ trong mặt phẳng $(P)$ . Xét một đường thẳng $c$ bất kì trong $(P)$ ( $c$ không song song với $a$ và $b$ ). Gọi $O$ là giao điểm của $d$ và $(P)$ . Trong $(P)$ vẽ qua $O$ ba đường thẳng $a^{'}, b^{'}, c^{'}$ lần lượt song song với $a, b, c$ . Vẽ một đường thẳng cắt $a^{'}, b^{'}, c^{'}$ lần lượt tại $B, C, D$ . Trên $d$ lấy hai điểm $E, F$ sao cho $O$ là trung điểm của $E F$ (Hình 4).

a) Giải thích tại sao hai tam giác $C E B$ và $C F B$ bằng nhau.

b) Có nhận xét gì về tam giác $D E F$ ? Từ đó suy ra góc giữa $d$ và $c$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trung tuyến của đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{l} d ⊥ a \\ a^{'} ∥ a \end{array}} \Rightarrow d ⊥ a^{'} \Rightarrow E F ⊥ O B$

Mà $O$ là trung điểm của $E F$ $\Rightarrow B E = B F$

$\begin{array}{l} d ⊥ b \\ b^{'} ∥ b \end{array}} \Rightarrow d ⊥ b^{'} \Rightarrow E F ⊥ O C$

Mà $O$ là trung điểm của $E F$ $\Rightarrow C E = C F$

Xét $Δ C E B$ và $Δ C F B$ có:

$\begin{array}{l} B E = B F \\ C E = C F \\ B C : c h u n g \end{array}} \Rightarrow Δ C E B = Δ C F B (c . c . c)$

b) $Δ C E B = Δ C F B \Rightarrow D E = D F$

$\Rightarrow D$ nằm trên đường trung trực của $E F \Rightarrow O D ⊥ E F \Rightarrow c^{'} ⊥ d$

Lại có $c ∥ c^{'}$

Vậy $c ⊥ d \Rightarrow (c, d) = 90^{\circ}$ .

Hoạt động 3

a) Trong không gian, cho điểm $O$ và đường thẳng $d$ . Gọi $a, b$ là hai đường thẳng phân biệt đi qua $O$ và vuông góc với $d$ (Hình 6a). Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa đường thẳng $d$ và $m p (a, b)$ ?

b) Trong không gian, cho điểm $O$ và mặt phẳng $(P)$ . Gọi $(Q)$ và $(R)$ là hai mặt phẳng đi qua $O$ và lần lượt vuông góc với hai đường cắt nhau $a, b$ nằm trong $(P)$ (Hình 6b). Có nhận xét gì về vị trí giữa mặt phẳng $(P)$ và giao tuyến $d$ của $(Q), (R)$ ?

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lí 1: Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $(α)$ thì $d ⊥ (α)$ .

b) Sử dụng tính chất: đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(α)$ thì nó vuông góc với mọi đường thẳng $a$ nằm trong $(α)$ .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{l} d ⊥ a \\ d ⊥ b \\ a \cap b = {O} \end{array}} \Rightarrow d ⊥ m p (a, b)$ .

b) Ta có:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} a ⊥ (Q) \\ d \subset (Q) \end{array}} \Rightarrow a ⊥ d \\ \begin{array}{l} b ⊥ (R) \\ d \subset (R) \end{array}} \Rightarrow b ⊥ d \end{array}$

Mà $a, b$ cắt nhau nằm trong $(P)$

$\Rightarrow d ⊥ (P)$

Thực hành 1

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông, $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D, S A$ vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ . Gọi $H, I, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên các cạnh $S B, S C, S D$ . Chứng minh rằng:

a) $C B ⊥ (S A B)$ và $C D ⊥ (S A D)$ ;

b) $H K ⊥ A I$ .

Phương pháp giải:

‒ Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

‒ Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

Cách 1: Chứng minh góc giữa chúng bằng $90^{\circ}$ .

Cách 2: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ C B$

$A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow A B ⊥ C B$

$\Rightarrow C B ⊥ (S A B)$

$S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ C D$

$A B C D$ là hình vuông $\Rightarrow A D ⊥ C D$

$\Rightarrow C D ⊥ (S A D)$

b) Ta có:

$\begin{array}{l} C B ⊥ (S A B) \Rightarrow C B ⊥ A H \\ A H ⊥ S B \end{array}} \Rightarrow A H ⊥ (S B C) \Rightarrow A H ⊥ S C$

$\begin{array}{l} C D ⊥ (S A D) \Rightarrow C D ⊥ A K \\ A K ⊥ S D \end{array}} \Rightarrow A K ⊥ (S C D) \Rightarrow A K ⊥ S C$

$\Rightarrow S C ⊥ (A H K) \Rightarrow S C ⊥ H K$

$\begin{array}{l} Δ S A B = Δ S A D (c . g . c) \Rightarrow S H = S K, S B = S D \\ \begin{array}{l} \Rightarrow \frac{S H}{S B} = \frac{S K}{S D} \Rightarrow H K ∥ B D \\ S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B D \end{array}} \Rightarrow S A ⊥ H K \end{array}$

$\begin{array}{l} S C ⊥ H K \\ S A ⊥ H K \end{array}} \Rightarrow H K ⊥ (S A C) \Rightarrow H K ⊥ A I$

Vận dụng 1

Làm thế nào để dựng cột chống một biển báo vuông góc với mặt đất?

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 1: Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $(α)$ thì $d ⊥ (α)$ .

Lời giải chi tiết:

Vì chân của cột chống biển báo là hai đường thẳng cắt nhau nên ta dựng cột chống vuông góc với hai chân của cột chống thì cột chống của biển báo vuông góc với mặt đất.