Giải mục 1 trang 58, 59 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

KP1

Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 58 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ , $\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ và số thực m.

a) Biểu diễn từng vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ theo ba vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ .

b) Biểu diễn các vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ , $\vec{a} - \vec{b}$ , $m \vec{a}$ theo ba vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ , từ đó suy ra toạ độ của các vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ , $\vec{a} - \vec{b}$ , $m \vec{a}$ .

Phương pháp giải:

$\vec{i} = (1; 0; 0); \vec{j} = (0; 1; 0); \vec{k} = (0; 0; 1)$ . Áp dụng quy tắc nhân vecto với một số và quy tắc cộng trừ 2 vecto.

Lời giải chi tiết:

a) $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}) = a_{1} (1; 0; 0) + a_{2} (0; 0; 1) + a_{3} (0; 0; 1) = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}$

$\vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3}) = b_{1} (1; 0; 0) + b_{2} (0; 0; 1) + b_{3} (0; 0; 1) = b_{1} \vec{i} + b_{2} \vec{j} + b_{3} \vec{k}$

b) $\vec{a} + \vec{b} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k} + b_{1} \vec{i} + b_{2} \vec{j} + b_{3} \vec{k} = (a_{1} + b_{1}) \vec{i} + (a_{2} + b_{2}) \vec{j} + (a_{3} + b_{3}) \vec{k} = (a_{1} + b_{1}; a_{2} + b_{2}; a_{3} + b_{3})$

$\vec{a} - \vec{b} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k} - b_{1} \vec{i} - b_{2} \vec{j} - b_{3} \vec{k} = (a_{1} - b_{1}) \vec{i} + (a_{2} - b_{2}) \vec{j} + (a_{3} - b_{3}) \vec{k} = (a_{1} - b_{1}; a_{2} - b_{2}; a_{3} - b_{3})$

$m \vec{a} = m (a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} + a_{3} \vec{k}) = m a_{1} \vec{i} + m a_{2} \vec{j} + m a_{3} \vec{k} = (m a_{1}; m a_{2}; m a_{3})$

TH1

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho ba vectơ $\vec{a} = (2; - 5; 3)$ , $\vec{b} = (0; 2; - 1)$ , $\vec{b} = (1; 7; 2)$ .

a) Tìm toạ độ của vectơ $\vec{d} = 4 \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + 3 \vec{c}$ .

b) Tìm toạ độ của vectơ $\vec{e} = \vec{a} - 4 \vec{b} - 2 \vec{c}$ .

c) Chứng minh $\vec{a}$ cùng phương với vectơ $\vec{m} = (- 6; 15; - 9)$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân vecto với một số và hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương khi $\vec{a} = k \vec{b} (k \neq 0)$ .

Lời giải chi tiết:

a) $\vec{d} = 4 \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + 3 \vec{c} = 4 (2; - 5; 3) - \frac{1}{3} (0; 2; - 1) + 3 (1; 7; 2) = (11; \frac{37}{3}; \frac{55}{3})$ .

b) $\vec{e} = \vec{a} - 4 \vec{b} - 2 \vec{c} = (2; - 5; 3) - 4 (0; 2; - 1) - 2 (1; 7; 2) = (0; - 27; 3)$ .

c) Ta có: $- 3 \vec{a} = (- 6; 15; - 9) = \vec{m}$ nên $\vec{a}$ cùng phương với $\vec{m}$ .

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc $\vec{v} = (10; 8; - 3)$ (Hình 1). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển là $\vec{w} = (3, 5; 1; 0)$ .

a) Tìm toạ độ của vectơ tổng hai vận tốc $\vec{v}$ và $\vec{w}$ .

b) Giả sử thiết bị thăm dò lặn với vận tốc $\vec{u} = (7; 2; 0)$ , hãy nêu nhận xét về vectơ vận tốc của nó so với vectơ vận tốc của dòng hải lưu.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng 2 vecto và tính chất 2 vecto cùng phương.

Lời giải chi tiết:

a) $\vec{v} + \vec{w} = (13, 5; 9; - 3)$ .

b) Ta có: $2 \vec{w} = (7; 2; 0)$ nên $\vec{w}$ và $\vec{u}$ cùng phương.