Giải mục 1 trang 59, 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 59 SGK Toán 11 Cánh diều

Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số $(u_{n}),$ với $u_{n} = \frac{1}{n}$ trên hệ trục tọa độ.

a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị $u_{n}$ khi n ngày càng lớn.

b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:

Kể từ số hạng $u_{n}$ nào của dãy số thì khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?

Phương pháp giải:

Quan sát Hình 2 và rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Khi n ngày càng lớn thì các giá trị $u_{n}$ ngày càng giảm tiến dần về gần trục Ox.

b)

Kể từ số hạng $u_{1001}$ trở đi thì khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,001.

Kể từ số hạng $u_{10001}$ trở đi thì khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,0001.

LT-VD1

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 1 trang 60 SGK Toán 11 Cánh diều

Chứng minh rằng:

a) $lim 0 = 0$ ;

b) $lim \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn 0.

Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $| u_{n} |$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải chi tiết:

a) Vì $| u_{n} | = | 0 | = 0 < 1$ nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có $lim 0 = 0$ .

b) Vì $0 < | \frac{1}{\sqrt{n}} | < 1$ nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có $lim \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ .

LT-VD2

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 2 trang 61 SGK Toán 11 Cánh diều

Chứng minh rằng $lim \frac{- 4 n + 1}{n} = - 4$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $lim_{n \to + \infty} (u_{n} - a) = 0$ , kí hiệu $lim_{n \to + \infty} u_{n} = a$ hay $u_{n} \to a$ khi $n \to + \infty$ hay $lim u_{n} = a$ .

Lời giải chi tiết:

Vì $lim (\frac{- 4 n + 1}{n} + 4) = lim \frac{1}{n} = 0$ nên $lim \frac{- 4 n + 1}{n} = - 4$ .

LT-VD3

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 3 trang 62 SGK Toán 11 Cánh diều

Chứng minh rằng $lim {(\frac{e}{π})}^{n} = 0$ .

Phương pháp giải:

Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $| u_{n} |$ có thể nhỏ hơn một số dư mơng bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải chi tiết:

Vì $| \frac{e}{π} | < 1$ nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có $lim {(\frac{e}{π})}^{n} = 0$ .