Giải mục 1 trang 59, 60, 61, 62

Hoạt động 1

Cho dãy số ($u_n$) được xác định bởi $u_n=\frac{1}{n}$

a, Tính giá trị của $u_1,u_2,u_3,u_4,u_{10}$và biểu diễn chúng trên trục số thực dưới đây:

b, Khi n tăng thì khoảng cách giữa $u_n$ và 0 thay đổi thế nào ? Điều đó thể hiện thế nào trên trục số.

c, Bắt đầu từ số hạng thứ mấy thì khoảng cách từ $u_n$ đến 0 nhỏ hơn 0,01? Câu hỏi tương tự với 0,001; 0,00001.

Phương pháp giải:

a, Lần lượt thay giá trị n=1, n= 2, n=3, n=4, n= 10 vào công thức $u_n=\frac{1}{n}$ để được các giá trị tương ứng $u_1,u_2,u_3,u_4,u_{10}$.

b, Khoảng cách giữa $u_n$ và 0 là giá trị của $u_n$.

Khi n tăng thì giá trị $\frac{1}{n}$ càng nhỏ, khoảng cách giữa $u_n$ và 0 càng gần nhau hơn.

Trên trục số, các giá trị n càng lớn thì khoảng cách giữa $u_n$ và 0 càng nhỏ.

c, 0,01=$\frac{1}{100}$= $u_{100}$. Với các giá trị n > 100 thì khoảng cách $u_n$ đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $u_1=\frac{1}{1}=1$, $u_2=\frac{1}{2}$, $u_3=\frac{1}{3}$, $u_4=\frac{1}{4}$, $u_{10}=\frac{1}{10}$.

Biểu diễn trên trục số:

b, Khi n tăng thì $\frac{1}{n}$ càng nhỏ do đó, khoảng cách giữa $u_n$ và 0 càng nhỏ khi n tăng.

c, Ta có : 0,01=$\frac{1}{100}$= $u_{100}$. Với các giá trị n > 100 thì khoảng cách $u_n$ đến 0 nhỏ hơn 0,01.  Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 thì khoảng cách $u_n$ đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Tương tự:

 0,001= $\frac{1}{1000}$=$u_{1000}$

Vậy bắt đầu từ số hạng 1001 thì khoảng cách $u_n$ đến 0 nhỏ hơn 0,001.

0,00001=$\frac{1}{100000}=u_{100000}$.

Vậy bắt đầu từ số hạng 100001 thì khoảng cách $u_n$ đến 0 nhỏ hơn 0,00001.

Luyện tập 1

Cho dãy số ($u_n$) với $u_n=(\frac{1}{2}{)}^n$

a, Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

b, Khi giá trị n càng lớn thì khoảng cách giữa $u_n$ và 0 thay đổi thế nào?

Phương pháp giải:

a, Thay các giá trị n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 vào công thức $u_n=(\frac{1}{2}{)}^n$ để được năm số hạng đầu tiên của dãy.

$u_1={\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{1}{2}$; $u_2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$; $u_3={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$; $u_4={\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$; $u_5={\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$

b, Khi n càng tăng thì giá trị $u_n$ càng nhỏ. Do đó, khoảng cách $u_n$ và 0 càng nhỏ.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có :

$u_1={\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{1}{2}$; $u_2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$; $u_3={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$; $u_4={\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$; $u_5={\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là: $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{16};\frac{1}{32}$.

b, Khi n càng tăng thì khoảng cách $u_n$ và 0 càng nhỏ.

Hoạt động 2

Cho dãy số ($u_n$) với $u_n$=$\frac{3n+1}{n}$. Xét dãy số ($v_n$) với $v_n=u_n-3$. Viết công thức tính số hạng tổng quát $v_n$và $\underset{n\to +\infty }{lim}{v}_n$.

Phương pháp giải:

Thay $u_n$=$\frac{3n+1}{n}$ vào công thức $v_n=u_n-3$ để được số hạng tổng quát của $v_n$.

Sử dụng phần lưu ý mục 1 là $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{n}=0$ để tính $\underset{n\to +\infty }{lim}{v}_n$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $v_n=u_n-3$= $\frac{3n+1}{n}-3=\frac{3n+1-3n}{n}=\frac{1}{n}$.

Khi đó, $\underset{n\to +\infty }{lim}{v}_n$=$\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{n}=0$.

Luyện tập 2

Chứng minh rằng: $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1-4n^2}{n^2}=-4$.

Phương pháp giải:

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{lim}\left[\frac{1-4n^2}{n^2}-(-4)\right]=\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{n^2}=0$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\underset{n\to +\infty }{lim}\left[\frac{1-4n^2}{n^2}-(-4)\right]$

=$\underset{n\to +\infty }{lim}\left(\frac{1-4n^2}{n^2}+4\right)$

=$\underset{n\to +\infty }{lim}\left(\frac{1-4n^2+4n^2}{n^2}\right)$

$\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{n^2}=0$

Vậy $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1-4n^2}{n^2}=-4$.

Hoạt động 3

a, Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{6n^3+1}{n^3}=6$

b, So sánh $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{6n^3+1}{n^3}$ và $(\underset{n\to +\infty }{lim}6+\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{n^3})$.

Phương pháp giải:

a, Tính $\underset{n\to +\infty }{lim}(\frac{6n^3+1}{n^3}-6)=\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{n^3}=0$.

b, Tính $(\underset{n\to +\infty }{lim}6+\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{n^3})$ và sử dụng kết quả câu a để so sánh.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $\underset{n\to +\infty }{lim}(\frac{6n^3+1}{n^3}-6)$

            = $\underset{n\to +\infty }{lim}\left(\frac{6n^3+1-6n^3}{n^3}\right)$

           = $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{n^3}=0$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{6n^3+1}{n^3}=6$.

b, Ta có: $\underset{n\to +\infty }{lim}6=6$ và $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{n^3}=0$

Do đó: $(\underset{n\to +\infty }{lim}6+\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{n^3})$= 6

Vậy: $\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{6n^3+1}{n^3}$ = $(\underset{n\to +\infty }{lim}6+\underset{n\to +\infty }{lim}\frac{1}{n^3})$.

Luyện tập 3

Tìm $lim\frac{6-7n^2}{2n^3+9}$ và $lim\frac{5^n+{2.6}^n}{6^n+4^n}$

Phương pháp giải:

Tính $lim\frac{6-7n^2}{2n^3+9}$  chia cả tử và mẫu cho $n^3$

Tính $lim\frac{5^n+{2.6}^n}{6^n+4^n}$  chia cả tử và mẫu cho $6^n$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\frac{6-7n^2}{2n^3+9}=\frac{6.\frac{1}{n^3}-7.\frac{1}{n}}{2+9.\frac{1}{n^3}}$

Vì lim 6=6, lim 7=7, lim 2= 2, lim 9=9, $lim\frac{1}{n^3}=0$, $lim\frac{1}{n}=0$ nên:

$lim(6.\frac{1}{n^3}-7.\frac{1}{n})=6.0+7.0=0$ và $lim(2+9.\frac{1}{n^3})=2+9.0=2$

Vậy $lim\frac{6-7n^2}{2n^3+9}$ $=0$.

Ta có: $\frac{5^n+{2.6}^n}{6^n+4^n}$ = $\frac{{\left(\frac{5}{6}\right)}^n+2}{1+{\left(\frac{4}{6}\right)}^n}=\frac{{\left(\frac{5}{6}\right)}^n+2}{1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}$

Vì $lim(\frac{5}{6}{)}^n=0$; $lim(\frac{2}{3}{)}^n=0$; $lim2=2$; $lim1=1$ nên :

$lim\left[{\left(\frac{5}{6}\right)}^n+2\right]=2$và $lim\left[1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right]=1$

Vậy $lim\frac{5^n+{2.6}^n}{6^n+4^n}$= 2.

Hoạt động 4

1.Chứng minh rằng dãy số ($u_n$) và ($v_n$) với công thức tính số hạng tổng quát lần lượt là $u_n=(\frac{1}{2}{)}^n$ và $v_n=2.(\frac{-2}{3}{)}^n$ là cấp số nhân mà công bội của chúng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1.

2.Cho cấp số nhân ($u_n$) có công bội q. ( $\left|q\right|<1$)

a, Viết công thức tính tổng $S_n$ của n số hạng đầu tiên  của ($u_n$) theo $u_1$ và q.

b, Nếu quy ước S=$u_1+u_2+...+u_n+...=lim{S}_n$, hãy tính S theo $u_1$ và q.

Phương pháp giải:

1.Tìm công bội q của dãy số ($u_n$) và ($v_n$) để chứng minh là cấp số nhân

2. a, Viết công thức tính $S_n$ của cấp số nhân $S_n=\frac{u_{1.}.(1-q^n)}{1-q}$

    b, Dựa vào lim$q^n=0$, tính lim $S_n$.

Lời giải chi tiết:

1.Chứng minh dãy số ($u_n$) là cấp số nhân

Ta có: $u_{n+1}=(\frac{1}{2}{)}^{n+1}$ ; $u_n=(\frac{1}{2}{)}^n$

$\Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}=\frac{1}{2}$

Vậy dãy số ($u_n$) là cấp số nhân với công bội q=$\frac{1}{2}$.

Chứng minh dãy số ($v_n$) là cấp số nhân

Ta có: $v_{n+1}=2.(\frac{-2}{3}{)}^{n+1}$; $v_n=2.(\frac{-2}{3}{)}^n$

$\Rightarrow \frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{2.{\left(\frac{-2}{3}\right)}^{n+1}}{2.{\left(\frac{-2}{3}\right)}^n}=\frac{-2}{3}$

Vậy dãy số ($v_n$) là cấp số nhân với công bội $q=\frac{-2}{3}$.

2. a, Tổng $S_n$ của n số hạng đầu tiên  của ($u_n$) theo $u_1$ và q là: $S_n=\frac{u_{1.}.(1-q^n)}{1-q}$

b, S=$u_1+u_2+...+u_n+...=lim{S}_n$= $lim\frac{u_1.(1-q^n)}{1-q}$

Ta có lim $q^n=0$( với $\left|q\right|<1$) $\Rightarrow lim(1-q^n)=1$, lim $u_1=u_1$, lim (1-q)=1-q

lim$S_n=$$\frac{1.u_1}{1-q}=\frac{u_1}{1-q}$.

Luyện tập 4

Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn S= $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}+...$

Phương pháp giải:

S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q=\frac{1}{2}$ và $u_1=1$ .Áp dụng công thức S=$\frac{u_1}{1-q}$ để tính tổng.

Lời giải chi tiết:

Ta có S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q=\frac{1}{2}$ và $u_1=1$.

S=$\frac{u_1}{1-q}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$.