Giải mục 1 trang 59, 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hoạt động 1

Cho dãy số ( $u_{n}$ ) được xác định bởi $u_{n} = \frac{1}{n}$

a, Tính giá trị của $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}, u_{10}$ và biểu diễn chúng trên trục số thực dưới đây:

b, Khi n tăng thì khoảng cách giữa $u_{n}$ và 0 thay đổi thế nào ? Điều đó thể hiện thế nào trên trục số.

c, Bắt đầu từ số hạng thứ mấy thì khoảng cách từ $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,01? Câu hỏi tương tự với 0,001; 0,00001.

Phương pháp giải:

a, Lần lượt thay giá trị n=1, n= 2, n=3, n=4, n= 10 vào công thức $u_{n} = \frac{1}{n}$ để được các giá trị tương ứng $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}, u_{10}$ .

b, Khoảng cách giữa $u_{n}$ và 0 là giá trị của $u_{n}$ .

Khi n tăng thì giá trị $\frac{1}{n}$ càng nhỏ, khoảng cách giữa $u_{n}$ và 0 càng gần nhau hơn.

Trên trục số, các giá trị n càng lớn thì khoảng cách giữa $u_{n}$ và 0 càng nhỏ.

c, 0,01= $\frac{1}{100}$ = $u_{100}$ . Với các giá trị n > 100 thì khoảng cách $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $u_{1} = \frac{1}{1} = 1$ , $u_{2} = \frac{1}{2}$ , $u_{3} = \frac{1}{3}$ , $u_{4} = \frac{1}{4}$ , $u_{10} = \frac{1}{10}$ .

Biểu diễn trên trục số:

b, Khi n tăng thì $\frac{1}{n}$ càng nhỏ do đó, khoảng cách giữa $u_{n}$ và 0 càng nhỏ khi n tăng.

c, Ta có : 0,01= $\frac{1}{100}$ = $u_{100}$ . Với các giá trị n > 100 thì khoảng cách $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,01. Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 thì khoảng cách $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Tương tự:

0,001= $\frac{1}{1000}$ = $u_{1000}$

Vậy bắt đầu từ số hạng 1001 thì khoảng cách $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,001.

0,00001= $\frac{1}{100000} = u_{100000}$ .

Vậy bắt đầu từ số hạng 100001 thì khoảng cách $u_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,00001.

Luyện tập 1

Cho dãy số ( $u_{n}$ ) với $u_{n} = (\frac{1}{2})^{n}$

a, Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

b, Khi giá trị n càng lớn thì khoảng cách giữa $u_{n}$ và 0 thay đổi thế nào?

Phương pháp giải:

a, Thay các giá trị n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, n = 5 vào công thức $u_{n} = (\frac{1}{2})^{n}$ để được năm số hạng đầu tiên của dãy.

$u_{1} = {(\frac{1}{2})}^{1} = \frac{1}{2}$ ; $u_{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$ ; $u_{3} = {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{8}$ ; $u_{4} = {(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1}{16}$ ; $u_{5} = {(\frac{1}{2})}^{5} = \frac{1}{32}$

b, Khi n càng tăng thì giá trị $u_{n}$ càng nhỏ. Do đó, khoảng cách $u_{n}$ và 0 càng nhỏ.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có :

$u_{1} = {(\frac{1}{2})}^{1} = \frac{1}{2}$ ; $u_{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$ ; $u_{3} = {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{8}$ ; $u_{4} = {(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1}{16}$ ; $u_{5} = {(\frac{1}{2})}^{5} = \frac{1}{32}$

Vậy năm số hạng đầu tiên của dãy số là: $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{16}; \frac{1}{32}$ .

b, Khi n càng tăng thì khoảng cách $u_{n}$ và 0 càng nhỏ.

Hoạt động 2

Cho dãy số ( $u_{n}$ ) với $u_{n}$ = $\frac{3 n + 1}{n}$ . Xét dãy số ( $v_{n}$ ) với $v_{n} = u_{n} - 3$ . Viết công thức tính số hạng tổng quát $v_{n}$ và $lim_{n \to + \infty} v_{n}$ .

Phương pháp giải:

Thay $u_{n}$ = $\frac{3 n + 1}{n}$ vào công thức $v_{n} = u_{n} - 3$ để được số hạng tổng quát của $v_{n}$ .

Sử dụng phần lưu ý mục 1 là $lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0$ để tính $lim_{n \to + \infty} v_{n}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $v_{n} = u_{n} - 3$ = $\frac{3 n + 1}{n} - 3 = \frac{3 n + 1 - 3 n}{n} = \frac{1}{n}$ .

Khi đó, $lim_{n \to + \infty} v_{n}$ = $lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0$ .

Luyện tập 2

Chứng minh rằng: $lim_{n \to + \infty} \frac{1 - 4 n^{2}}{n^{2}} = - 4$ .

Phương pháp giải:

Ta có: $lim_{n \to + \infty} [\frac{1 - 4 n^{2}}{n^{2}} - (- 4)] = lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$lim_{n \to + \infty} [\frac{1 - 4 n^{2}}{n^{2}} - (- 4)]$

= $lim_{n \to + \infty} (\frac{1 - 4 n^{2}}{n^{2}} + 4)$

= $lim_{n \to + \infty} (\frac{1 - 4 n^{2} + 4 n^{2}}{n^{2}})$

$lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0$

Vậy $lim_{n \to + \infty} \frac{1 - 4 n^{2}}{n^{2}} = - 4$ .

Hoạt động 3

a, Chứng minh rằng $lim_{n \to + \infty} \frac{6 n^{3} + 1}{n^{3}} = 6$

b, So sánh $lim_{n \to + \infty} \frac{6 n^{3} + 1}{n^{3}}$ và $(lim_{n \to + \infty} 6 + lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{3}})$ .

Phương pháp giải:

a, Tính $lim_{n \to + \infty} (\frac{6 n^{3} + 1}{n^{3}} - 6) = lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{3}} = 0$ .

b, Tính $(lim_{n \to + \infty} 6 + lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{3}})$ và sử dụng kết quả câu a để so sánh.

Lời giải chi tiết:

a, Ta có: $lim_{n \to + \infty} (\frac{6 n^{3} + 1}{n^{3}} - 6)$

= $lim_{n \to + \infty} (\frac{6 n^{3} + 1 - 6 n^{3}}{n^{3}})$

= $lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{3}} = 0$ .

Vậy $lim_{n \to + \infty} \frac{6 n^{3} + 1}{n^{3}} = 6$ .

b, Ta có: $lim_{n \to + \infty} 6 = 6$ và $lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{3}} = 0$

Do đó: $(lim_{n \to + \infty} 6 + lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{3}})$ = 6

Vậy: $lim_{n \to + \infty} \frac{6 n^{3} + 1}{n^{3}}$ = $(lim_{n \to + \infty} 6 + lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{3}})$ .

Luyện tập 3

Tìm $lim \frac{6 - 7 n^{2}}{2 n^{3} + 9}$ và $lim \frac{5^{n} + {2.6}^{n}}{6^{n} + 4^{n}}$

Phương pháp giải:

Tính $lim \frac{6 - 7 n^{2}}{2 n^{3} + 9}$ chia cả tử và mẫu cho $n^{3}$

Tính $lim \frac{5^{n} + {2.6}^{n}}{6^{n} + 4^{n}}$ chia cả tử và mẫu cho $6^{n}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\frac{6 - 7 n^{2}}{2 n^{3} + 9} = \frac{6. \frac{1}{n^{3}} - 7. \frac{1}{n}}{2 + 9. \frac{1}{n^{3}}}$

Vì lim 6=6, lim 7=7, lim 2= 2, lim 9=9, $lim \frac{1}{n^{3}} = 0$ , $lim \frac{1}{n} = 0$ nên:

$lim (6. \frac{1}{n^{3}} - 7. \frac{1}{n}) = 6.0 + 7.0 = 0$ và $lim (2 + 9. \frac{1}{n^{3}}) = 2 + 9.0 = 2$

Vậy $lim \frac{6 - 7 n^{2}}{2 n^{3} + 9}$ $= 0$ .

Ta có: $\frac{5^{n} + {2.6}^{n}}{6^{n} + 4^{n}}$ = $\frac{{(\frac{5}{6})}^{n} + 2}{1 + {(\frac{4}{6})}^{n}} = \frac{{(\frac{5}{6})}^{n} + 2}{1 + {(\frac{2}{3})}^{n}}$

Vì $lim (\frac{5}{6})^{n} = 0$ ; $lim (\frac{2}{3})^{n} = 0$ ; $lim 2 = 2$ ; $lim 1 = 1$ nên :

$lim [{(\frac{5}{6})}^{n} + 2] = 2$ và $lim [1 + {(\frac{2}{3})}^{n}] = 1$

Vậy $lim \frac{5^{n} + {2.6}^{n}}{6^{n} + 4^{n}}$ = 2.

Hoạt động 4

1.Chứng minh rằng dãy số ( $u_{n}$ ) và ( $v_{n}$ ) với công thức tính số hạng tổng quát lần lượt là $u_{n} = (\frac{1}{2})^{n}$ và $v_{n} = 2. (\frac{- 2}{3})^{n}$ là cấp số nhân mà công bội của chúng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1.

2.Cho cấp số nhân ( $u_{n}$ ) có công bội q. ( $| q | < 1$ )

a, Viết công thức tính tổng $S_{n}$ của n số hạng đầu tiên của ( $u_{n}$ ) theo $u_{1}$ và q.

b, Nếu quy ước S= $u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} + . . . = lim S_{n}$ , hãy tính S theo $u_{1}$ và q.

Phương pháp giải:

1.Tìm công bội q của dãy số ( $u_{n}$ ) và ( $v_{n}$ ) để chứng minh là cấp số nhân

2. a, Viết công thức tính $S_{n}$ của cấp số nhân $S_{n} = \frac{u_{1.} . (1 - q^{n})}{1 - q}$

b, Dựa vào lim $q^{n} = 0$ , tính lim $S_{n}$ .

Lời giải chi tiết:

1.Chứng minh dãy số ( $u_{n}$ ) là cấp số nhân

Ta có: $u_{n + 1} = (\frac{1}{2})^{n + 1}$ ; $u_{n} = (\frac{1}{2})^{n}$

$\Rightarrow \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}} = \frac{1}{2}$

Vậy dãy số ( $u_{n}$ ) là cấp số nhân với công bội q= $\frac{1}{2}$ .

Chứng minh dãy số ( $v_{n}$ ) là cấp số nhân

Ta có: $v_{n + 1} = 2. (\frac{- 2}{3})^{n + 1}$ ; $v_{n} = 2. (\frac{- 2}{3})^{n}$

$\Rightarrow \frac{v_{n + 1}}{v_{n}} = \frac{2. {(\frac{- 2}{3})}^{n + 1}}{2. {(\frac{- 2}{3})}^{n}} = \frac{- 2}{3}$

Vậy dãy số ( $v_{n}$ ) là cấp số nhân với công bội $q = \frac{- 2}{3}$ .

2. a, Tổng $S_{n}$ của n số hạng đầu tiên của ( $u_{n}$ ) theo $u_{1}$ và q là: $S_{n} = \frac{u_{1.} . (1 - q^{n})}{1 - q}$

b, S= $u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} + . . . = lim S_{n}$ = $lim \frac{u_{1} . (1 - q^{n})}{1 - q}$

Ta có lim $q^{n} = 0$ ( với $| q | < 1$ ) $\Rightarrow lim (1 - q^{n}) = 1$ , lim $u_{1} = u_{1}$ , lim (1-q)=1-q

lim $S_{n} =$ $\frac{1. u_{1}}{1 - q} = \frac{u_{1}}{1 - q}$ .

Luyện tập 4

Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn S= $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + . . . + \frac{1}{2^{n}} + . . .$

Phương pháp giải:

S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q = \frac{1}{2}$ và $u_{1} = 1$ .Áp dụng công thức S= $\frac{u_{1}}{1 - q}$ để tính tổng.

Lời giải chi tiết:

Ta có S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q = \frac{1}{2}$ và $u_{1} = 1$ .

S= $\frac{u_{1}}{1 - q}$ = $\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ .