Giải mục 1 trang 6, 7

KP1

Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 6 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số $f\left(x\right)=2x$ xác định trên $R$. Tìm một hàm số $F\left(x\right)$ sao cho $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức đạo hàm được học ở lớp 11 để tìm một hàm số có đạo hàm là $2x$.

Lời giải chi tiết:

Ta có ${\left(x^2\right)}^{\prime }=2x$, nên $F\left(x\right)=x^2$ là một hàm số cần tìm.

KP2

Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 6 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số $f\left(x\right)=3x^2$ xác định trên $R$.

a) Chứng minh rằng $F\left(x\right)=x^3$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $R$.

b) Với $C$ là hằng số tuỳ ý, hàm số $H\left(x\right)=F\left(x\right)+C$ có là nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $R$ không?

c) Giả sử $G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $R$. Tìm đạo hàm của hàm số $G\left(x\right)-F\left(x\right)$. Từ đó, có nhận xét gì về hàm số $G\left(x\right)-F\left(x\right)$?

Phương pháp giải:

a) Để chứng minh $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $R$, ta cần chỉ ra rằng $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$.

b) Để kiểm tra hàm số $H\left(x\right)$ có là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$ hay không, ta cần tính đạo hàm $H^{\prime }\left(x\right)$ và so sánh với $f\left(x\right)$.

c) Tính đạo hàm ${\left[G\left(x\right)-F\left(x\right)\right]}^{\prime }$ và rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có $F^{\prime }\left(x\right)=3x^2=f\left(x\right)$, nên $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $R$.

b) Ta có $H^{\prime }\left(x\right)={\left[F\left(x\right)+C\right]}^{\prime }=F^{\prime }\left(x\right)+C^{\prime }=f\left(x\right)$ (do $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$), nên $H\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $R$.

c) Do $G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$ trên $R$, ta có $G^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$.

Ta có ${\left[G\left(x\right)-F\left(x\right)\right]}^{\prime }=G^{\prime }\left(x\right)-F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)-f\left(x\right)=0$.

Vậy đạo hàm của hàm số $G\left(x\right)-F\left(x\right)$ bằng 0, tức là $G\left(x\right)-F\left(x\right)$ là một hằng số (do đạo hàm của một hằng số thì bằng 0).

TH1

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Chứng minh rằng $F\left(x\right)=e^{2x+1}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2e^{2x+1}$ trên $R$.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm $F^{\prime }\left(x\right)$ và so sánh với $f\left(x\right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $F^{\prime }\left(x\right)={\left(e^{2x+1}\right)}^{\prime }=2e^{2x+1}=f\left(x\right)$, nên $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$.