Giải mục 1 trang 60, 61, 62

Hoạt động 1

Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm $x_0=1s$ trong bài toán tìm vận tốc tức thời nêu ở trên.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức đã cho ở bài toán tìm vận tốc để tính.

Lời giải chi tiết:

$v\left(x_0\right)=\underset{x_1\to x_0}{lim}\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0}$

$=\underset{x_1\to 1}{lim}\frac{f\left(x_1\right)-f\left(1\right)}{x_1-1}=\underset{x_1\to 1}{lim}\frac{\frac{1}{2}g{x}_1-\frac{1}{2}g}{x_1-1}$

$=\underset{x_1\to 1}{lim}\frac{\frac{1}{2}g(x_1-1)}{x_1-1}=\frac{1}{2}g\approx \frac{1}{2}.9,8\approx 4,9$ (m/s).

Luyện tập – Vận dụng 1

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ tại $x_0=2$ bằng định nghĩa.

Phương pháp giải:

Dựa vào ví dụ 1 để làm.

Lời giải chi tiết:

Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm x₀ = 2.

Ta có:

$\Delta y=f\left(2+\Delta x\right)-f\left(2\right)=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}$

$=\frac{2-2-\Delta x}{2\left(2+\Delta x\right)}=\frac{-\Delta x}{4+2\Delta x}$.

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{-\Delta x}{4+2\Delta x}}{\Delta x}=\frac{-\Delta x}{\Delta x\left(4+2\Delta x\right)}=\frac{-1}{4+2\Delta x}$.

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{-1}{4+2\Delta x}=\frac{-1}{4+2.0}=\frac{-1}{4}$.

Vậy $f^{\prime }\left(2\right)=\frac{-1}{4}$.

Luyện tập – Vận dụng 2

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^3$ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Phương pháp giải:

Dựa vào ví dụ 2 để làm.

Lời giải chi tiết:

Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có:

$\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)={\left(x+\Delta x\right)}^3-x^3$

$=\left(x+\Delta x-x\right)\left[x{\left(x+\Delta x\right)}^2+x.\left(x+\Delta x\right)+x^2\right]$

$=\Delta x\left(x^2+2x.\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2+x^2+x.\Delta x+x^2\right)$

$=\Delta x.\left(3x^2+{\left(\Delta x\right)}^2+3x.\Delta x\right)$.

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=3x^2+{\left(\Delta x\right)}^2+3x.\Delta x$.

Ta thấy:

$\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\left(3x^2+{\left(\Delta x\right)}^2+3x.\Delta x\right)=3x^2$.

$\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=3x^2$.