Hoạt động 1
Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm x0=1s trong bài toán tìm vận tốc tức thời nêu ở trên.
Phương pháp giải:
Dựa vào công thức đã cho ở bài toán tìm vận tốc để tính.
Lời giải chi tiết:
v(x0)=limx1→x0f(x1)−f(x0)x1−x0
=limx1→1f(x1)−f(1)x1−1=limx1→112gx1−12gx1−1
=limx1→112g(x1−1)x1−1=12g≈12.9,8≈4,9 (m/s).
Luyện tập – Vận dụng 1
Tính đạo hàm của hàm số f(x)=1x tại x0=2 bằng định nghĩa.
Phương pháp giải:
Dựa vào ví dụ 1 để làm.
Lời giải chi tiết:
Xét Δx là số gia của biến số tại điểm x0 = 2.
Ta có:
Δy=f(2+Δx)−f(2)=12+Δx−12
=2−2−Δx2(2+Δx)=−Δx4+2Δx.
Suy ra ΔyΔx=−Δx4+2ΔxΔx=−ΔxΔx(4+2Δx)=−14+2Δx.
Ta thấy limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0−14+2Δx=−14+2.0=−14.
Vậy f′(2)=−14.
Luyện tập – Vận dụng 2
Tính đạo hàm của hàm số f(x)=x3 tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.
Phương pháp giải:
Dựa vào ví dụ 2 để làm.
Lời giải chi tiết:
Xét Δx là số gia của biến số tại điểm x.
Ta có:
Δy=f(x+Δx)−f(x)=(x+Δx)3−x3
=(x+Δx−x)[x(x+Δx)2+x.(x+Δx)+x2]
=Δx(x2+2x.Δx+(Δx)2+x2+x.Δx+x2)
=Δx.(3x2+(Δx)2+3x.Δx).
⇒ΔyΔx=3x2+(Δx)2+3x.Δx.
Ta thấy:
limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(3x2+(Δx)2+3x.Δx)=3x2.
⇒f′(x)=3x2.
