Giải mục 1 trang 61, 62

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn Tìm các giá trị lượng giác của góc 135

HĐ Khám phá 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính $R = 1$ nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn $α,$ lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = α .$ Giả sử điểm M có tọa độ $(x_{0}; y_{0}) .$ Trong tam giác vuông OHM, áp dụng cách tính các tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:

$\sin α = y_{0}; \cos α = x_{0}; \tan α = \frac{y_{0}}{x_{0}}; \cot α = \frac{x_{0}}{y_{0}} .$

Phương pháp giải:

Tam giác vuông OHM có $α = \hat{x O M}$ .

$\sin α = \frac{M H}{O M}; \cos α = \frac{O H}{O M}; \tan α = \frac{\sin α}{\cos α}; \cot α = \frac{\cos α}{\sin α}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: tam giác vuông OHM vuông tại H và $α = \hat{x O M}$

Do đó: $\sin α = \frac{M H}{O M}; \cos α = \frac{O H}{O M} .$

Mà $M H = y_{0}; O H = x_{0}; O M = 1.$

$\Rightarrow \sin α = \frac{y_{0}}{1} = y_{0}; \cos α = \frac{x_{0}}{1} = x_{0} .$

$\Rightarrow \tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{y_{0}}{x_{0}}; \cot α = \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{x_{0}}{y_{0}} .$

Thực hành 1

Tìm các giá trị lượng giác của góc $135^{o}$ .

Phương pháp giải:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = 135^{o}$ .

Khi đó hoành độ và tung độ của điểm M lần lượt là các giá trị $\cos 135^{o}, \sin 135^{o}$ .

Từ đó suy ra $\tan 135^{o} = \frac{\sin 135^{o}}{\cos 135^{o}}, \cot 135^{o} = \frac{\cos 135^{o}}{\sin 135^{o}} .$

Lời giải chi tiết:

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\hat{x O M} = 135^{o}$ , H là hình chiếu vuông góc của M trên Oy.

Ta có: $\hat{M O y} = 135^{o} - 90^{o} = 45^{o}$ .

Tam giác OMH vuông cân tại H nên $O H = M H = \frac{O M}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Vậy tọa độ điểm M là $(- \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}) .$

Vậy theo định nghĩa ta có:

$\begin{array}{l} \sin 135^{o} = \frac{\sqrt{2}}{2}; \cos 135^{o} = - \frac{\sqrt{2}}{2}; \\ \tan 135^{o} = - 1; \cot 135^{o} = - 1. \end{array}$

Chú ý

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc $135^{o}$ .

Với loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS), ta bấm phím “SHIFT” “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ).

Với loại máy tính fx-580VN X, ta bấm phím “SHIFT” “SETUP” rồi bấm phím “2”, “1” (để chọn đơn vị độ).

Tính $\sin 135^{o}$ , bấm phím: sin 1 3 5 $^{o}$ ’’’ = ta được kết quả là $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tính $\cos 135^{o}$ ,bấm phím: cos 1 3 5 $^{o}$ ’’’ = ta được kết quả là $\frac{- \sqrt{2}}{2}$ .

Tính $\tan 135^{o}$ , bấm phím: tan 1 3 5 $^{o}$ ’’’ = ta được kết quả là $- 1$ .

(Để tính $\cot 135^{o}$ , ta tính $1 : \tan 135^{o}$ ).