Giải mục 1 trang 64, 65, 66, 67

HĐ1

a) Tính đạo hàm của hàm số $y=x^2$ tại điểm $x_0$ bất kì bằng định nghĩa.

b) Dự đoán đạo hàm của hàm số $y=x^n$ tại điểm x bất kì.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Lời giải chi tiết:

a) $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{e^{2.\ln x}-e^{2.\ln x_0}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{e^{2.\ln x_0}.\left(e^{2\ln x-2\ln x_0}-1\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x_0^2\left(e^{2.\ln x-2\ln x_0}-1\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x_0^2\left(2\ln x-2\ln x_0\right)}{x-x_0}$

$=2x_0^2\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\ln \left(\frac{x}{x_0}\right)}{x-x_0}=2x_0^2\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\ln \left(1+\frac{x}{x_0}-1\right)}{x-x_0}$

$=2x_0^2\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\frac{x}{x_0}-1}{x-x_0}=2x_0^2\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\frac{x-x_0}{x_0}}{x-x_0}$

$=2x_0^2\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{x_0}=2x_0^2.\frac{1}{x_0}=2x$.

$\Rightarrow {\left(x^2\right)}^{\prime }=2x$.

b) Dự đoán đạo hàm của hàm số $y=x^n$ tại điểm x bất kì: $y^{\prime }=n.x^{n-1}$.

LT-VD1

Cho hàm số $y=x^{22}$.

a) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm x bất kì.

b) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm $x_0=-1$.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để tính.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)={\left(x^{22}\right)}^{\prime }=22.x^{21}$.

b) Đạo hàm của hàm số tại điểm $x_0=-1$ là:

$f^{\prime }\left(-1\right)=22.{\left(-1\right)}^{21}=-22$.

HĐ2

Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm $x_0=1$ bằng định nghĩa.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x^{\frac{1}{2}}-x_0^{\frac{1}{2}}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{e^{\frac{1}{2}.\ln x}-e^{\frac{1}{2}.\ln x_0}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{e^{\frac{1}{2}.\ln x_0}.\left(e^{\frac{1}{2}\ln x-\frac{1}{2}\ln x_0}-1\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x_0^{\frac{1}{2}}\left(e^{\frac{1}{2}.\ln x-\frac{1}{2}\ln x_0}-1\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x_0^{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\ln x-\frac{1}{2}\ln x_0\right)}{x-x_0}$

$=\frac{1}{2}{x}_0^{\frac{1}{2}}\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\ln \left(\frac{x}{x_0}\right)}{x-x_0}=2x_0^2\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\ln \left(1+\frac{x}{x_0}-1\right)}{x-x_0}$

$=2x_0^2\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\frac{x}{x_0}-1}{x-x_0}=\frac{1}{2}{x}_0^{\frac{1}{2}}\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\frac{x-x_0}{x_0}}{x-x_0}$

$=\frac{1}{2}{x}_0^{\frac{1}{2}}\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{x_0}=\frac{1}{2}{x}_0^{\frac{1}{2}}.\frac{1}{x_0}$

$\Rightarrow f^{\prime }\left(1\right)=\frac{1}{2}{.1}^{\frac{1}{2}}.1=\frac{1}{2}$.

LT-VD2

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ tại điểm $x_0=9$.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để làm.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x\right)={\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\Rightarrow f^{\prime }\left(9\right)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{2.3}=\frac{1}{6}$.

HĐ3

Bằng cách sử dụng kiết quả $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$, tính đạo hàm của hàm số $y=\sin x$ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\sin x-\sin x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{2.\cos x\frac{x+x_0}{2}.\sin \frac{x-x_0}{2}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{2.\frac{x-x_0}{2}.\cos \frac{x+x_0}{2}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\cos \frac{x+x_0}{2}=\cos \frac{2x_0}{2}=\cos x_0$.

Suy ra, $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$.

LT-VD3

Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại điểm $x_0=\frac{\pi }{2}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào ví dụ 3 để làm bài.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x\right)=\cos x$.

$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \frac{\pi }{2}=0$.

HĐ4

Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y=\cos x$ tại điểm x bất kì.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\cos x-\cos x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{-2.\sin \frac{x+x_0}{2}.\sin \frac{x-x_0}{2}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{-2.\frac{x-x_0}{2}.\sin \frac{x+x_0}{2}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\left(-\sin \frac{x+x_0}{2}\right)=-\sin \frac{2x_0}{2}=-\sin x_0$.

$\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$.

LT-VD4

Một vật dao động theo phương trình f(x) = cosx, trong đó x là thời gian tính theo giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $x_0=2$ $\left(s\right)$.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để tính.

Lời giải chi tiết:

Vận tốc tức thời của dao động: $f^{\prime }\left(x\right)=-\sin x$.

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $x_0=2\left(s\right)$:

$f^{\prime }\left(2\right)=-\sin \left(2\right)=0,91$ $\left(m/s\right)$.

HĐ5

Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm sô $y=\tan x$ tại điểm x bất kì, $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in Z)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\tan x-\tan x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\tan x-\tan x_0}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin x_0}{\cos x_0}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\frac{\sin x\cos x_0-\sin x_0\cos x}{\cos x\cos x_0}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{\cos x\cos x_0}=\frac{1}{{\cos }^2{x}_0}$.

$\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$.

LT-VD5

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\tan x$ tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{6}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để làm.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}\Rightarrow f^{\prime }\left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{{\cos }^2\left(-\frac{\pi }{6}\right)}=\frac{4}{3}$.

HĐ6

Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y=\cot x$ tại điểm x bất kì, $x\ne k\pi (k\in Z)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\cot x-\cot x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\cot x-\cot x_0}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\cos x_0}{\sin x_0}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\frac{\cos x\sin x_0-\cos x_0\sin x}{\sin x\sin x_0}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}-\frac{1}{\sin x\sin x_0}=-\frac{1}{{\sin }^2{x}_0}$

$\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$.

LT-VD6

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\cot x$ tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{3}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để làm.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\Rightarrow f^{\prime }\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{{\sin }^2\left(-\frac{\pi }{3}\right)}=-\frac{4}{3}$.

HĐ7

Sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1$, tính đạo hàm của hàm số $y=e^x$ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x\right)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x+x_0)-f\left(x\right)}{x-x_0}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{x+x_0}-e^x}{x-x_0}$

$=\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{x+x_0}-e^x}{x-x_0}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x(e^{x_0}-1)}{x}$

$=e^x.\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{x_0}-1}{x}=e^x.1=e^x$.

$\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=e^x$.

LT-VD7

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)={10}^x$ tại điểm $x_0=-1$.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để làm.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x\right)={10}^x.\ln 10\Rightarrow f^{\prime }\left(-1\right)={10}^{-1}.\ln 10=\frac{\ln 10}{10}$.

HĐ8

Sử dụng kết quả  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$, tính đạo hàm của hàm số $y=\ln x$ tại điểm x dương bất kì bằng định nghĩa.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\ln x-\ln x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\ln \frac{x}{x_0}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\frac{\ln \frac{x}{x_0}}{\ln e}}{x-x_0}=\frac{1}{\ln e}.\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\ln \frac{x}{x_0}}{x-x_0}$

$=\frac{1}{\ln e}\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\ln \left(1+\frac{x}{x_0}-1\right)}{x-x_0}=\frac{1}{\ln e}\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\frac{x}{x_0}-1}{x-x_0}$

$=\frac{1}{\ln e}.\underset{u\to 0}{lim}\frac{\frac{x-x_0}{x_0}}{x-x_0}=\frac{1}{x_0\ln e}$.

$\Rightarrow {\left(\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln e}=\frac{1}{x}$.

LT-VD8

Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\log x$ tại điểm $x_0=\frac{1}{2}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức vừa học để làm.

Lời giải chi tiết:

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x.\ln 10}\Rightarrow f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{\frac{1}{2}.\ln 10}=\frac{2}{\ln 10}$.