Giải mục 1 trang 64, 65 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 64 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n}$ .

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

b) Với $n$ thế nào thì $| u_{n} |$ bé hơn 0,01; 0,001?

c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.

Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm $u_{n}$ đến điểm 0 khi $n$ trở nên rất lớn?

Phương pháp giải:

a) Để tìm $| u_{n} |$ , ta thay $n$ vào công thức $| u_{n} | = | \frac{{(- 1)}^{n}}{n} |$ .

b) Để tìm $n$ , ta giải các bất đẳng thức $| u_{n} | < 0, 01; | u_{n} | < 0, 001$ .

Lời giải chi tiết:

a) $n = 100 \Leftrightarrow | u_{100} | = | \frac{{(- 1)}^{100}}{100} | = \frac{1}{100} = 0, 01$ .

$n = 1000 \Leftrightarrow | u_{1000} | = | \frac{{(- 1)}^{1000}}{1000} | = \frac{1}{1000} = 0, 001$ .

Như vậy ta có thể điền vào bảng như sau:

b) $| u_{n} | < 0, 01 \Leftrightarrow | \frac{{(- 1)}^{n}}{n} | < 0, 01 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < 0, 01 \Leftrightarrow n > 100$ .

Vậy $| u_{n} | < 0, 01$ khi $n > 100$ .

$| u_{n} | < 0, 001 \Leftrightarrow | \frac{{(- 1)}^{n}}{n} | < 0, 001 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < 0, 001 \Leftrightarrow n > 1000$ .

Vậy $| u_{n} | < 0, 001$ khi $n > 1000$ .

c) Dựa vào trục số ta thấy, khoảng cách từ điểm $u_{n}$ đến điểm 0 trở nên rất bé khi $n$ trở nên rất lớn.

TH1

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 65 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Tìm các giới hạn sau:

a) $lim \frac{1}{n^{2}}$ ;

b) $lim {(- \frac{3}{4})}^{n}$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng giới hạn cơ bản:

• $lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ , với $k$ nguyên dương bất kì.

• $lim q^{n} = 0$ , với $q$ là số thực thỏa mãn $| q | < 1$ .

Lời giải chi tiết:

a) Áp dụng công thức giới hạn cơ bản với $k = 2$ , ta có: $lim \frac{1}{n^{2}}$ .

b) Do $| - \frac{3}{4} | = \frac{3}{4} < 1$ nên $lim {(- \frac{3}{4})}^{n} = 0$ .

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 65 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n}$ .

a) Cho dãy số $(v_{n})$ với $v_{n} = u_{n} - 2$ . Tìm giới hạn $lim v_{n}$ .

b) Biểu diễn các điểm $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}$ trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm $u_{n}$ khi $n$ trở nên rất lớn?

Phương pháp giải:

a) Tìm công thức tổng quát của $v_{n}$ sau đó áp dụng giới hạn cơ bản: $lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ , với $k$ nguyên dương bất kì.

b) Tính $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}$ rồi biểu diễn trên trục số.

Lời giải chi tiết:

a) $v_{n} = u_{n} - 2 = \frac{2 n + 1}{n} - 2 = \frac{2 n + 1 - 2 n}{n} = \frac{1}{n}$ .

Áp dụng giới hạn cơ bản với $k = 1$ , ta có: $lim v_{n} = lim \frac{1}{n} = 0$ .

b) $u_{1} = \frac{2.1 + 1}{1} = 3, u_{2} = \frac{2.2 + 1}{2} = \frac{5}{2}, u_{3} = \frac{2.3 + 1}{3} = \frac{7}{3}, u_{4} = \frac{2.4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Biểu diễn trên trục số:

Nhận xét: Điểm $u_{n}$ càng dần đến điểm 2 khi $n$ trở nên rất lớn.

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 65 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Tìm các giới hạn sau:

a) $lim (2 + {(\frac{2}{3})}^{n})$ ;

b) $lim (\frac{1 - 4 n}{n})$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt dãy số cần tính giới hạn là $u_{n}$ , từ đó tìm $a$ sao cho $lim (u_{n} - a) = 0$ .

Bước 2: Áp dụng định lý giới hạn hữu hạn của dãy số: $lim u_{n} = a$ nếu $lim (u_{n} - a) = 0$ .

Lời giải chi tiết:

a) Đặt $u_{n} = 2 + {(\frac{2}{3})}^{n} \Leftrightarrow u_{n} - 2 = {(\frac{2}{3})}^{n}$ .

Suy ra $lim (u_{n} - 2) = lim {(\frac{2}{3})}^{n} = 0$ .

Theo định nghĩa, ta có $lim u_{n} = 2$ . Vậy $lim (2 + {(\frac{2}{3})}^{n}) = 2$ .

b) Đặt $u_{n} = \frac{1 - 4 n}{n} = \frac{1}{n} - 4 \Leftrightarrow u_{n} - (- 4) = \frac{1}{n}$ .

Suy ra $lim (u_{n} - (- 4)) = lim \frac{1}{n} = 0$ .

Theo định nghĩa, ta có $lim u_{n} = - 4$ . Vậy $lim (\frac{1 - 4 n}{n}) = - 4$ .