Giải mục 1 trang 65, 66, 67 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khởi động

Phương pháp giải:

Với $\hat{A} = 90^{o}$ ta sử dụng định lí Pytago.

Với $\hat{A} \neq 90^{o}$ : Áp dụng định lí cosin: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí Pytago, ta có:

$\begin{array}{l} B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 \\ \Rightarrow B C = 5 \end{array}$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNP, ta có:

$N P^{2} = M N^{2} + M P^{2} - 2. M N . M P \cos M$

Mà $M N = 4, M P = 3, \hat{M} = 60^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow N P^{2} = 4^{2} + 3^{2} - 2.4.3 \cos 60^{o} = 13 \\ \Leftrightarrow N P = \sqrt{13} \approx 3, 6 \end{array}$

HĐ Khám phá 1

a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và $\hat{C} \geq \hat{B} .$ Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.

Hãy thay ? bằng các chữ cáu thích hợp để chứng minh công thức $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ theo gợi ý sau:

Xét tam giác vuông BCD, ta có: $a^{2} = d^{2} + (c - x)^{2} = d^{2} + x^{2} + c^{2} - 2 x c$ (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có: $b^{2} = d^{2} + x^{2} \Rightarrow d^{2} = b^{2} - x^{2}$ (2)

$\cos A = \frac{?}{b} \Rightarrow ? = b \cos A .$ (3)

Thay (2) và (3) vào (1), ta có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

Lưu ý: Nếu $\hat{B} > \hat{C}$ thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.

b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

Lưu ý: Vì A là góc tù nên $\cos A = - \frac{x}{b} .$

c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ coogn thức $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ có thể viết là $a^{2} = b^{2} + c^{2} .$

Lời giải chi tiết:

a) ? = x vì $\cos A = \frac{A D}{A C} = \frac{x}{b} \Rightarrow ? = x .$

b) Xét tam giác vuông BCD, ta có: $a^{2} = d^{2} + (c + x)^{2} = d^{2} + x^{2} + c^{2} + 2 x c$ (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có: $b^{2} = d^{2} + x^{2} \Rightarrow d^{2} = b^{2} - x^{2}$ (2)

$\cos A = - \cos \hat{D A C} = - \frac{x}{b} \Rightarrow x = - b \cos A .$ (3)

Thay (2) và (3) vào (1), ta có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

c) Ta có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

Mà $\hat{A} = 90^{o} \Rightarrow \cos A = \cos 90^{o} = 0.$

$\Rightarrow a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Thực hành 1

Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình 4.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$\begin{array}{l} B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 A C . A B \cos A \\ \cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C}; \cos C = \frac{A C^{2} + B C^{2} - A B^{2}}{2. A C . B C} \end{array}$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 A C . A B \cos A$

Mà $A B = 14, A C = 18, \hat{A} = 62^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C^{2} = 18^{2} + 14^{2} - 2.18.14 \cos 62^{o} \approx 283, 3863 \\ \Leftrightarrow B C \approx 16, 834 \end{array}$

Lại có: Từ định lí cosin ta suy ra:

$\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C}; \cos C = \frac{A C^{2} + B C^{2} - A B^{2}}{2. A C . B C}$

$\Rightarrow {\begin{cases} \cos B = \frac{14^{2} + 16, 834^{2} - 18^{2}}{2.14.16, 834} \approx 0, 3297 \\ \cos C = \frac{18^{2} + 16, 834^{2} - 14^{2}}{2.18.16, 834} \approx 0, 6788 \end{cases}$

$\Rightarrow {\begin{cases} \hat{B} \approx 70^{o} 45^{'} \\ \hat{C} \approx 47^{o} 15^{'} \end{cases}$

Vậy $B C \approx 16, 834; \hat{B} \approx 70^{o} 45^{'}; \hat{C} \approx 47^{o} 15^{'} .$

Vận dụng 1

Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc $70^{o}$ (Hình 5).

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu hai vị trí đầu hồ và vị trí quan sát lần lượt bở các điểm A, B, C như hình dưới:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 A C . A B \cos A$

Mà $A B = 800, A C = 900, \hat{A} = 70^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C^{2} = 900^{2} + 800^{2} - 2.900.800 \cos 70^{o} \approx 957490, 9936 \\ \Leftrightarrow B C \approx 978, 5147 \end{array}$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu hồ là 978,5147 m.