Giải mục 1 trang 65, 66, 67

HĐ Khởi động

Phương pháp giải:

Với $\hat{A}={90}^o$ ta sử dụng định lí Pytago.

Với $\hat{A}\ne {90}^o$: Áp dụng định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí Pytago, ta có:

$\begin{array}{c}B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2=3^2+4^2=25\\ \Rightarrow BC=5\end{array}$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNP, ta có:

$N{P}^2=M{N}^2+M{P}^2-2.MN.MP\cos M$

Mà $MN=4,MP=3,\hat{M}={60}^o$

$\begin{array}{c}\Rightarrow N{P}^2=4^2+3^2-\mathrm{2.4.3}\cos {60}^o=13\\ \iff NP=\sqrt{13}\approx 3,6\end{array}$

HĐ Khám phá 1

a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và $\hat{C}\ge \hat{B}.$ Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.

Hãy thay ? bằng các chữ cáu thích hợp để chứng minh công thức $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ theo gợi ý sau:

Xét tam giác vuông BCD, ta có: $a^2=d^2+(c-x{)}^2=d^2+x^2+c^2-2xc$    (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có: $b^2=d^2+x^2\Rightarrow d^2=b^2-x^2$    (2)

$\cos A=\frac{?}{b}\Rightarrow ?=b\cos A.$     (3)                   

Thay (2) và (3) vào (1), ta có: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

Lưu ý: Nếu $\hat{B}>\hat{C}$ thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.

b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

Lưu ý: Vì A là góc tù nên $\cos A=-\frac{x}{b}.$

c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ coogn thức $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ có thể viết là $a^2=b^2+c^2.$

Lời giải chi tiết:

a) ? = x vì $\cos A=\frac{AD}{AC}=\frac{x}{b}\Rightarrow ?=x.$

b) Xét tam giác vuông BCD, ta có: $a^2=d^2+(c+x{)}^2=d^2+x^2+c^2+2xc$          (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có: $b^2=d^2+x^2\Rightarrow d^2=b^2-x^2$    (2)

$\cos A=-\cos \widehat{DAC}=-\frac{x}{b}\Rightarrow x=-b\cos A.$    (3)         

Thay (2) và (3) vào (1), ta có: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

c) Ta có: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

Mà $\hat{A}={90}^o\Rightarrow \cos A=\cos {90}^o=0.$

$\Rightarrow a^2=b^2+c^2$

Thực hành 1

Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình 4.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$\begin{array}{c}B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2-2AC.AB\cos A\\ \cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC};\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2.AC.BC}\end{array}$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2-2AC.AB\cos A$

Mà $AB=14,AC=18,\hat{A}={62}^o$

$\begin{array}{c}\Rightarrow B{C}^2={18}^2+{14}^2-\mathrm{2.18.14}\cos {62}^o\approx 283,3863\\ \iff BC\approx 16,834\end{array}$

Lại có: Từ định lí cosin ta suy ra:

$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC};\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2.AC.BC}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}\cos B=\frac{{14}^2+16,{834}^2-{18}^2}{\mathrm{2.14.16},834}\approx 0,3297\\ \cos C=\frac{{18}^2+16,{834}^2-{14}^2}{\mathrm{2.18.16},834}\approx 0,6788\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}\hat{B}\approx {70}^o{45}^{\prime }\\ \hat{C}\approx {47}^o{15}^{\prime }\end{array}$

Vậy $BC\approx 16,834;\hat{B}\approx {70}^o{45}^{\prime };\hat{C}\approx {47}^o{15}^{\prime }.$

Vận dụng 1

Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc ${70}^o$ (Hình 5).

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu hai vị trí đầu hồ và vị trí quan sát lần lượt bở các điểm A, B, C như hình dưới:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$B{C}^2=A{C}^2+A{B}^2-2AC.AB\cos A$

Mà $AB=800,AC=900,\hat{A}={70}^o$

$\begin{array}{c}\Rightarrow B{C}^2={900}^2+{800}^2-\mathrm{2.900.800}\cos {70}^o\approx 957490,9936\\ \iff BC\approx 978,5147\end{array}$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu hồ là 978,5147 m.