Giải mục 1 trang 65, 66, 67

Hoạt động 1

Cho dãy số $\left(x_n\right)$ với $x_n=1+\frac{1}{n}$. Xét hàm số $f\left(x\right)=x^2-2x$

a, Tính $f\left(x_n\right)$ theo n.

b, Tìm $lim{x}_n$ và $limf\left(x_n\right)$.

Phương pháp giải:

a, Thay giá trị của $x_n$ vào f(x).

b, Áp dụng giới hạn của dãy số để tính $lim{x}_n$ và $limf\left(x_n\right)$.

Lời giải chi tiết:

a, Thay $x_n=1+\frac{1}{n}$ vào hàm số $f\left(x\right)=x^2-2x$ ta được:

$f\left(x_n\right)={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2-2.(1+\frac{1}{n})=1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}-2-\frac{2}{n}=-1+\frac{1}{n^2}$

b, Vì lim1=1, $lim\frac{1}{n}=0$, $lim\frac{1}{n^2}=0$ nên:

$lim{x}_n=lim(1+\frac{1}{n})=1$ và $limf\left(x_n\right)=lim(-1+\frac{1}{n^2})=-1$.

Luyện tập 1

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}$. Tìm $\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)$.

Phương pháp giải:

Chia tử cho mẫu và xác định giới hạn theo biểu thức đã chia.

Lời giải chi tiết:

f(x) xác định trên R\{2}

Với mọi dãy $\left(x_n\right)$ mà $x_n\ne 2$, và $lim{x}_n=2$, ta có:

$limf\left(x_n\right)=lim\frac{x_n^2-3x_n+2}{x_n-2}=lim\frac{(x_n-1).(x_n-2)}{x_n-2}$=$lim(x_n-1)=1$

Vậy $\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)=1$.

Hoạt động 2

a, Chứng minh rằng $\underset{x\to 2}{lim}{x}^2=4$ và $\underset{x\to 2}{lim}(x+1)=3$.

b, Tìm $\underset{x\to 2}{lim}(x^2+x+1)$ và $\underset{x\to 2}{lim}{x}^2(x+1)$.

Phương pháp giải:

a, Xác định giới hạn của hàm số dựa vào giới hạn của dãy số $\underset{x_n\to 2}{lim}$

b, Áp dụng câu a để tính giới hạn ở câu b.

Lời giải chi tiết:

a, f(x) xác định trên R.

Với mọi dãy $\left(x_n\right)$ mà $x_n\ne 2$, và $lim{x}_n=2$, ta có:

$\underset{x\to 2}{lim}{x}^2=lim(x_n{)}^2=2^2=4$ và $\underset{x\to 2}{lim}(x+1)=lim(x_n+1)=2+1=3$.

b, Ta có : $\underset{x\to 2}{lim}(x^2+x+1)=\underset{x\to 2}{lim}{x}^2+\underset{x\to 2}{lim}(x+1)=4+3=7$

                $\underset{x\to 2}{lim}{x}^2(x+1)=\underset{x\to 2}{lim}{x}^2.\underset{x\to 2}{lim}(x+1)=4.3=12$.

Luyện tập 2

Tìm $\underset{x\to -1}{lim}\frac{x^3+x^2+x+1}{x+1}$ và $\underset{x\to -6}{lim}\frac{x^2+\sqrt{2-x}}{{(2+x)}^2}$.

Phương pháp giải:

Với $\underset{x\to -1}{lim}\frac{x^3+x^2+x+1}{x+1}$ ta rút gọn hàm số và xác định giới hạn.

Với $\underset{x\to -6}{lim}\frac{x^2+\sqrt{2-x}}{{(2+x)}^2}$ tính $\underset{x\to -6}{lim}\left(x^2+\sqrt{2-x}\right)$ và $\underset{x\to -6}{lim}(2+x{)}^2$ và áp dụng $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{A}{B},B\ne 0$

Lời giải chi tiết:

a, Hàm số $\frac{x^3+x^2+x+1}{x+1}$ xác định trên R\{-1}

Với $x\ne -1$ ta có:

$\frac{x^3+x^2+x+1}{x+1}=\frac{(x^3+x^2)+(x+1)}{x+1}=\frac{x^2(x+1)+(x+1)}{x+1}$= $\frac{(x^2+1).(x+1)}{x+1}=x^2+1$

Vậy $\underset{x\to -1}{lim}\frac{x^3+x^2+x+1}{x+1}$=$\underset{x\to -1}{lim}\left(x^2+1\right)=(-1{)}^2+1=2$

b, Ta có: $\underset{x\to -6}{lim}\left(x^2+\sqrt{2-x}\right)=(-6{)}^2+\sqrt{2-(-6)}=36+\sqrt{8}=36+2\sqrt{2}$

               $\underset{x\to -6}{lim}(2+x{)}^2=(2-6{)}^2=16$

Vậy $\underset{x\to -6}{lim}\frac{x^2+\sqrt{2-x}}{{(2+x)}^2}=\frac{36+2\sqrt{2}}{16}=\frac{18+\sqrt{2}}{8}$.

Hoạt động 3

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$ và dãy số $\left(x_n\right)$ mà $lim\left(x_n\right)=0$. Tính $limf\left(x_n\right)$.

Phương pháp giải:

Tính lim 1 và $lim(x_n{)}^2$ sau đó tính $limf\left(x_n\right)$.

Lời giải chi tiết:

Với mọi dãy $\left(x_n\right)$ mà $lim\left(x_n\right)=0$ ta có $lim(x_n{)}^2$= 0 và lim 1=1

Vậy $limf\left(x\right)=lim\frac{1}{x_n^2}=+\infty$.

Luyện tập 3

Tìm $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{2-\sqrt{x^2+4}}$.

Phương pháp giải:

Tìm $lim(2-\sqrt{4+x_n^2})$ để xác định $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{2-\sqrt{x^2+4}}$.

Lời giải chi tiết:

Với mọi dãy $\left(x_n\right)$ mà $lim\left(x_n\right)=0$, ta có $2-\sqrt{4+x_n^2}>0$ vì ($x_n\ne 0$) và $lim(2-\sqrt{4+x_n^2})$=0

Vì lim 1=1 nên $lim\frac{2}{2-\sqrt{{x_n}^2+4}}=+\infty$.

Vậy $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{2-\sqrt{x^2+4}}=+\infty$.