Giải mục 1 trang 66, 67, 68, 69

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 66 SGK Toán 11 Cánh diều

Xét hàm số $f\left(x\right)=2x$.

a) Xét dãy số $\left(x_n\right),$ với $x_n=1+\frac{1}{n}.$ Hoàn thành bảng giá trị $f\left(x_n\right)$ tương ứng.

Các giá trị tương ứng của hàm số $f\left(x_1\right),f\left(x_2\right),...,f\left(x_n\right),...$ lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là $\left(f\left(x_n\right)\right).$ Tìm $limf\left(x_n\right).$

b) Chứng minh rằng với dãy số bất kì $\left(x_n\right),x_n\to 1$ ta luôn có $f\left(x_n\right)\to 2.$

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí về giới hạn hữu hạn kết hợp với một số giới hạn cơ bản.

Nếu $\underset{n\to +\infty }{lim}{u}_n=a,\underset{n\to +\infty }{lim}{v}_n=b$ thì:

$\underset{n\to +\infty }{lim}(u_n\pm v_n)=a\pm b$

$\underset{n\to +\infty }{lim}(u_n.v_n)=a.b$

$\underset{n\to +\infty }{lim}\left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\frac{a}{b}\left(b\ne 0\right)$

Lời giải chi tiết:

a)

$limf\left(x_n\right)=lim\left(2.\frac{n+1}{n}\right)=lim2.lim\left(1+\frac{1}{n}\right)=2.\left(1+0\right)=2$.

b) Lấy dãy số bất kì $\left(x_n\right),x_n\to 1$ ta có $f\left(x_n\right)=2x_n$.

$limf\left(x_n\right)=lim\left(2x_n\right)=lim2.lim{x}_n=2.1=2$.

LT-VD1

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 1 trang 66 SGK Toán 11 Cánh diều

Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng $\underset{x\to 2}{lim}{x}^2=4$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:

Cho khoảng K chứa điểm $x_0$ và hàm số $f\left(x\right)$xác định trên K hoặc trên $K\setminus \left\{x_0\right\}$. Hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn là số L khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n\in K\setminus \left\{x_0\right\}$ và $x_n\to x_0$, ta có$f\left(x_n\right)\to L$.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $\left(x_n\right)$ là dãy số bất kì thỏa mãn $lim{x}_n=2$.

Ta có $lim{x}_n^2=2^2=4$.

Vậy $\underset{x\to 2}{lim}{x}^2=4$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 67 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho hai hàm số $f\left(x\right)=x^2-1,g\left(x\right)=x+1$.

a) Tính $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)$ và $\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)$.

b) Tính $\underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]$ và so sánh $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)$.

c) Tính $\underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]$ và so sánh $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)-\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)$.

d) Tính $\underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]$ và so sánh $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right).\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)$.

e) Tính $\underset{x\to 1}{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ và so sánh $\frac{\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)}{\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)}$.

Phương pháp giải:

$\underset{x\to x_0}{lim}x=x_0;\underset{x\to x_0}{lim}c=c$.

Lời giải chi tiết:

a) $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{lim}\left(x^2-1\right)=\underset{x\to 1}{lim}{x}^2-\underset{x\to 1}{lim}1=1^2-1=0$.

$\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)=\underset{x\to 1}{lim}\left(x+1\right)=\underset{x\to 1}{lim}x+\underset{x\to 1}{lim}1=1+1=2$.

b) $\underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\underset{x\to 1}{lim}\left(x^2+x\right)=1^2+1=2$

$\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)=0+2=2$.

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)$.

c) $\underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=\underset{x\to 1}{lim}\left(x^2-x-2\right)=1^2-1-2=-2$.

$\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)-\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)=0-2=-2$.

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]=\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)-\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)$.

d) $\underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]=\underset{x\to 1}{lim}\left[\left(x^2-1\right)\left(x+1\right)\right]$

$=\underset{x\to 1}{lim}\left(x^3+x^2-x-1\right)=1^3+1^2-1-1=0$.

$\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right).\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)=0.2=0$.

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{lim}\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]=\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right).\underset{x\to 1}{lim}g\left(x\right)$.

LT-VD2

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 2 trang 68 SGK Toán 11 Cánh diều

Tính:

a) $\underset{x\to 2}{lim}\left[\left(x+1\right)\left(x^2+2x\right)\right]$;

b) $\underset{x\to 2}{lim}\sqrt{x^2+x+3}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí về phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số:

Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L$và $\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)=M$$\left(L,M\in R\right)$ thì:

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]=L\pm M$;

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f\left(x\right).g\left(x\right)\right]=L.M$;

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]=\frac{L}{M}\left(M\ne 0\right)$.

Nếu $f\left(x\right)\ge 0$ với mọi $x\in \left(a;b\right)\setminus \left\{x_0\right\}$ và $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L$ thì $L\ge 0$ và $\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$.

Lời giải chi tiết:

a) $\underset{x\to 2}{lim}\left[\left(x+1\right)\left(x^2+2x\right)\right]$

$=\underset{x\to 2}{lim}\left(x+1\right).\underset{x\to 2}{lim}\left(x^2+2x\right)=\left(2+1\right).\left(2^2+2.2\right)=24$.               

b) $\underset{x\to 2}{lim}\sqrt{x^2+x+3}=\sqrt{\underset{x\to 2}{lim}\left(x^2+x+3\right)}$

$=\sqrt{\underset{x\to 2}{lim}{x}^2+\underset{x\to 2}{lim}x+\underset{x\to 2}{lim}3}=\sqrt{2^2+2+3}=3$.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 68 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}-1,x<0\\ 0,x=0\\ 1,x>0\end{array}$

Hàm số $f\left(x\right)$ có đồ thị ở Hình 6.

a) Xét dãy số $\left(u_n\right)$ sao cho $u_n<0$ và $lim{u}_n=0.$ Xác định $f\left(u_n\right)$ và tìm $limf\left(u_n\right).$

b) Xét dãy số $\left(v_n\right)$ sao cho $v_n>0$ và $lim{v}_n=0.$ Xác định $f\left(v_n\right)$ và tìm $limf\left(v_n\right).$

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hình 6 để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

a) Xét dãy số $\left(u_n\right)$ sao cho $u_n<0$ và $lim{u}_n=0.$ Khi đó $f\left(u_n\right)=-1$ và $limf\left(u_n\right)=-1.$

b) Xét dãy số $\left(v_n\right)$ sao cho $v_n>0$ và $lim{v}_n=0.$ Khi đó $f\left(v_n\right)=1$ và $limf\left(v_n\right)=1.$

LT-VD3

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 3 trang 69 SGK Toán 11 Cánh diều

Tính $\underset{x\to -4^{+}}{lim}\left(\sqrt{x+4}+x\right)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa giới hạn một phía.

- Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$. Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số $y=f\left(x\right)$khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì thỏa mãn $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=L$.

- Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$. Số L là giới hạn bên của hàm số $y=f\left(x\right)$ khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì thỏa mãn $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=L$.

Lời giải chi tiết:

Với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì $x_n>-4$ và $x_n\to -4$, ta có:

$\underset{x_n\to -4^{+}}{lim}\left(\sqrt{x_n+4}+x_n\right)$

$=\underset{x_n\to -4^{+}}{lim}\sqrt{x_n+4}+\underset{x_n\to -4^{+}}{lim}{x}_n$

$=\sqrt{\underset{x_n\to -4^{+}}{lim}\left(x_n+4\right)}+\left(-4\right)$

$=\sqrt{\underset{x_n\to -4^{+}}{lim}{x}_n+4}-4$

$=\sqrt{-4+4}-4=-4$.

Vậy $\underset{x\to -4^{+}}{lim}\left(\sqrt{x+4}+x\right)=-4$.