Giải mục 1 trang 67, 68

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 67 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hai vectơ ngược hướng $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ và ${\vec{a}}^{'}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d^{'}$ (Hình 5.26). Cho biết $(d, d^{'}) = 45^{^{\circ}}$ . Hãy tính số đo của hai góc: $(\vec{a}, {\vec{a}}^{'})$ và $(\vec{b}, {\vec{a}}^{'})$ . Từ đó chỉ ra mối quan hệ giữa hai góc $(d, d^{'})$ và $(\vec{a}, {\vec{a}}^{'})$ , giữa $\cos (d, d^{'})$ và $\cos (\vec{a}, {\vec{a}}^{'})$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ để tính góc giữa chúng:

$\cos θ = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | | \vec{v} |}$

Lời giải chi tiết:

- Góc giữa $\vec{a}$ và ${\vec{a}}^{'}$ :

Ta sử dụng công thức cosin cho góc giữa hai vectơ:

$\cos (\vec{a}, {\vec{a}}^{'}) = \frac{\vec{a} \cdot {\vec{a}}^{'}}{| \vec{a} | . | {\vec{a}}^{'} |} = \frac{a_{1} {a^{'}}_{1} + a_{2} {a^{'}}_{2} + a_{3} {a^{'}}_{3}}{\sqrt{(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) (a_{1}^{' 2} + a_{2}^{' 2} + a_{3}^{' 2})}}$

Biết rằng $(d, d^{'}) = 45^{\circ}$ và Vì $\vec{a}$ là vector chỉ phương của d và $\vec{a^{'}}$ là vector chỉ phương của d' nên góc giữa hai vector bằng góc giữa hai đường thẳng. Suy ra góc giữa $\vec{a}$ và ${\vec{a}}^{'}$ là $45^{\circ}$ .

- Góc giữa $\vec{b}$ và ${\vec{a}}^{'}$ :

Vì $\vec{b} = - \vec{a}$ , ta có:

$\cos (\vec{b}, {\vec{a}}^{'}) = \cos (- \vec{a}, {\vec{a}}^{'}) = - \cos (\vec{a}, {\vec{a}}^{'}) = - \cos 45^{\circ}$

Suy ra:

$\cos (\vec{b}, {\vec{a}}^{'}) = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Do đó, góc giữa $\vec{b}$ và ${\vec{a}}^{'}$ là $135^{\circ}$ .

- Mối quan hệ giữa hai góc:

Góc giữa hai đường thẳng $(d, d^{'})$ và góc giữa hai vectơ chỉ phương $\vec{a}$ và ${\vec{a}}^{'}$ bằng nhau, tức là: $(d, d^{'}) = (\vec{a}, {\vec{a}}^{'}) = 45^{\circ}$

- Tương tự, mối quan hệ giữa $\cos (d, d^{'})$ và $\cos (\vec{a}, {\vec{a}}^{'})$ là: $\cos (d, d^{'}) = \cos (\vec{a}, {\vec{a}}^{'}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 68 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:

a) $d : \frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ và $d^{'} : \frac{x - 1}{4} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{2}$

b) $d : \frac{x}{2} = \frac{y}{- 4} = \frac{z}{5}$ và $d^{'} : {\begin{array}{l} \begin{array}{l} x = 2 - t \\ y = 3 + 2 t \\ z = 2 t \end{array} \end{array}$ $(t \in R)$

Phương pháp giải:

Xác định vector chỉ phương của mỗi đường thẳng.

Sử dụng công thức cosin góc giữa hai vector: $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |}$ .

Tính góc từ giá trị cosin.

Lời giải chi tiết:

Vector chỉ phương:

$d : \vec{a_{1}} = (3, 4, 5)$

$d^{'} : \vec{a_{2}} = (4, 2, 2)$

Áp dụng công thức:

$\cos (\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}) = \frac{3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 2}{\sqrt{(3^{2} + 4^{2} + 5^{2}) (4^{2} + 2^{2} + 2^{2})}}$

$= \frac{12 + 8 + 10}{\sqrt{(9 + 16 + 25) (16 + 4 + 4)}}$

$= \frac{30}{\sqrt{50 \cdot 24}}$

$= \frac{3}{\sqrt{2}}$

Suy ra góc $ϕ = 30^{\circ}$

Vector chỉ phương:

$d : \vec{a_{1}} = (2, - 4, 5)$

$d^{'} : \vec{a_{2}} = (- 1, 2, 2)$

Áp dụng công thức:

$\cos (\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}) = \frac{2 \cdot (- 1) + (- 4) \cdot 2 + 5 \cdot 2}{\sqrt{(2^{2} + {(- 4)}^{2} + 5^{2}) ({(- 1)}^{2} + 2^{2} + 2^{2})}}$

$= \frac{- 2 - 8 + 10}{\sqrt{(4 + 16 + 25) (1 + 4 + 4)}}$

$= \frac{0}{\sqrt{45 \cdot 9}}$

$= 0$

Do $\cos (ϕ) = 0$ , nên $ϕ = 90^{\circ}$