Giải mục 1 trang 68, 69, 70

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 68 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho biết các đỉnh của tam giác ABC (Hình 2) có thuộc đường tròn (O) hay không?

Phương pháp giải:

Kiểm tra xem 3 đỉnh của tam giác có nằm trên đường tròn hay không.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy 3 đỉnh A, B, C của tam giác ABC đều thuộc đường tròn tâm (O).

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 69 SGK Toán 9 Cánh diều

Quan sát Hình 4 và cho biết trong hai đường tròn (O) và (I), đường tròn nào ngoại tiếp tam giác ABC, đường tròn nào ngoại tiếp tam giác ABD?

Phương pháp giải:

Kiểm tra từng đường tròn để biết các điểm thuộc đường tròn đó là đỉnh của tam giác nào.

Lời giải chi tiết:

Đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vì nó đi qua cả 3 đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Đường tròn (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD vì nó đi qua cả 3 đỉnh A, B, D của tam giác ABD.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 69 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực (Hình 5).

a)    Các đoạn thẳng OA, OB, OC có bằng nhau không?

b)    Đặt R = OA. Đường tròn (O;R) có phải là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay không? Vì sao?

Phương pháp giải:

a) Nhớ lại tính chất 3 đường trung trực của tam giác.

b) Chỉ ra OA = OB = OC = R.

Lời giải chi tiết:

a) Do 3 đường trung trực của tam giác ABC cắt nhau tại 1 điểm nên OA = OB = OC (tính chất 3 đường trung trực trong tam giác).

b) Ta có R = OA nên OA = OB = OC = R.

Vậy đường tròn (O; R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 70 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của BC (hình 7). Đường tròn (O; OB) có phải là đường tròn ngoại tiếp tam giác  ABC hay không?

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí “Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền”.

Lời giải chi tiết:

Vì O là trung điểm của BC nên AO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Xét tam giác ABC vuông tại A có AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên ta có: $OA=OB=OC=\frac{BC}{2}$

Vậy 3 điểm A, B, C thuộc đường tròn đường kính OB nên (O; OB) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 70 SGK Toán 9 Cánh diều

Nêu cách sử dụng ê ke để xác định tâm của một đường tròn bất kì khi chưa biết tâm của nó.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí “Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền”.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính là trung điểm của cạnh huyền.

Lời giải chi tiết:

Đặt đỉnh vuông của eke trùng với một điểm N bất kỳ trên đường tròn, kẻ đường thẳng đi qua cạnh huyền của êke cắt đường tròn tại A và B ta được đường kính AB.

Trung điểm của AB là tâm của đường tròn đó.

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 70 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho tam giác đều ABC cạnh a, ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm O (Hình 8).

a) AM, BN, CP có là các đường trung trực của tam giác ABC hay không?

b) Điểm O có là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay không?

c) Tính AM theo a.

d) Tính OA theo a.

Phương pháp giải:

a)    Nhớ lại tính chất: Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác cân cũng là đường trung trực của tam giác đó.

b)    Xét xem O có cách đều 3 đỉnh của tam giác hay không.

c)     Tính BM, sau đó áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AMB.

d)    Áp dụng: khoảng cách từ trọng tâm tới đỉnh của tam giác bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Lời giải chi tiết:

a)    Vì tam giác ABC đều nên ba đường trung tuyến AM, BN, CP cũng đồng thời là ba đường trung trực của tam giác ABC. Do đó AM, BN, CP lần lượt là trung trực của BC, AC, AB.

b)    Do ba đường trung trực của tam giác ABC cắt nhau tại O nên O cách đều 3 đỉnh A, B, C (tính chất 3 đường trung trực của tam giác).

Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c)     Xét tam giác đều ABC cạnh a  có trung tuyến AM  nên $BM=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}.$

AM là đường trung trực của tam giác ABC (cmt) nên $AM\perp BC$ do đó $\widehat{AMB}={90}^{\circ }.$

Xét tam giác ABM vuông tại M có:

$A{M}^2=A{B}^2-B{M}^2=a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}$ (Pytago)

$AM=\frac{\sqrt{3}a}{2}.$

d)    Ta có: AM là trung tuyến của tam giác ABC, O là trọng tâm nên $OA=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{3}.$

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 71 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; 2cm). Tính AB.

Phương pháp giải:

Kẻ đường trung trực AH.

Áp dụng Định lý độ dài đường trung tuyến trong tam giác để tính AH.

Áp dụng Định lý Pytago để tính BH rồi tính AB.

Lời giải chi tiết:

Chứng minh

Kẻ đường trung trực AH của tam giác ABC suy ra $O\in AH,\widehat{OHB}={90}^{\circ }.$

Vì tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; 2cm) nên OA = OB = 2cm.

Ta lại có: AH là đường trung trực của tam giác đều ABC nên AH đồng thời là đường trung tuyến, do đó $OH=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}.2=1cm,AH=3OH=3.1=3cm.$

Xét tam giác OHB  vuông tại H, áp dụng định lý Pytago ta có: $BH=\sqrt{B{O}^2-O{H}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}cm.$

Xét tam giác AHB  vuông tại H, áp dụng định lý Pytago ta có:

$AB=\sqrt{3^2+{\sqrt{3}}^2}=2\sqrt{3}cm.$

Vậy$AB=2\sqrt{3}cm.$