Giải mục 1 trang 71

HĐ1

Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên cạnh BC. Gọi A', B', C' lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng MA, MB, MC (Hình 47)

a) So sánh các cặp góc:

$\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}$ và $\widehat{BAC}$; $\widehat{C^{\prime }{B}^{\prime }{A}^{\prime }}$  và $\widehat{CBA}$; $\widehat{A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }}$ và $\widehat{ACB}$. 

b) So sánh các tỉ số: $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}$; $\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}$; $\frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{CA}$.

Phương pháp giải:

a) Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác để so sánh các góc.

Sử dụng tính chất tổng các góc trong tam giác bằng ${180}^0$

b) Dựa vào tính chất đường trung bình để so sánh.

Lời giải chi tiết:

a) Xét tam giác ABM có A'B' là đường trung bình của tam giác

$\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }//AB$

$\Rightarrow \widehat{C^{\prime }{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=\widehat{CBA}$ (hai góc đồng vị)

Tương tự, tam giác AMC có A'C' là đường trung bình nên $\widehat{A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }}=\widehat{ACB}$ (hai góc đồng vị)

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{BAC}+\widehat{CBA}+\widehat{ACB}={180}^0$

Xét tam giác A'B'C' có:

$\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}+\widehat{C^{\prime }{B}^{\prime }{A}^{\prime }}+\widehat{A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }}={180}^0$

$\Rightarrow \widehat{BAC}+\widehat{CBA}+\widehat{ACB}=\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}+\widehat{C^{\prime }{B}^{\prime }{A}^{\prime }}+\widehat{A^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }}$ 

$\Rightarrow \widehat{BAC}=\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}$

b) A'B' là đường trung bình của tam giác ABM nên

$A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{1}{2}AB\Rightarrow \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{1}{2}$

A'B' là đường trung bình của tam giác ABM nên

$A^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{1}{2}AC\Rightarrow \frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}=\frac{1}{2}$

Ta có: $\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{M{B}^{\prime }+M{C}^{\prime }}{2M{B}^{\prime }+2M{C}^{\prime }}=\frac{M{B}^{\prime }+M{C}^{\prime }}{2(M{B}^{\prime }+M{C}^{\prime })}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{CA}$

LT1

Cho $\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \Delta ABC$ và $AB=3,BC=2,CA=4,A^{\prime }{B}^{\prime }=x,B^{\prime }{C}^{\prime }=3,C^{\prime }{A}^{\prime }=y$. Tìm $x$ và $y$.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tam giác đồng dạng để tìm $x$ và $y$.

Lời giải chi tiết:

Vì $\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim \Delta ABC$ nên ta có:

$\{\begin{array}{c}{A}^{\prime }{B}^{\prime }=AB=3\\ B^{\prime }{C}^{\prime }=BC=2\end{array}$

Vậy $x=3$ và $y=2$.