Giải mục 1 trang 72, 73

Cho nửa đường tròn tâm I bán kính r quay quanh đường kính AB cố định của nó, ta nhận được một mặt cầu (S) tâm I bán kính r. Xét một điểm M thuộc (S) (Hình 5.32). Hãy so sánh IM và r.

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 72 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Phương pháp giải:

Khoảng cách từ tâm nửa đường tròn tới bất kỳ điểm nào nằm trên nửa đường tròn đều bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Vì M là vị trí của một điểm thuộc nửa đường tròn quay quanh AB, nên điểm M luôn có cùng khoảng cách từ I đến điểm đó như khoảng cách từ I đến bất kỳ điểm nào trên nửa đường tròn ban đầu, tức là IM = r.

Do bán kính không thay đổi trong suốt quá trình quay, khoảng cách từ I đến M vẫn giữ nguyên giá trị là 𝑟.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 73 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua gốc toạ độ O, bán kính r = 5. Tìm toạ độ tâm I của (S), biết điểm I thuộc đường thẳng

$d : {\begin{array}{l} x = 3 - t \\ y = t \\ z = 4 + 2 t \end{array} (t \in R) .$

Phương pháp giải:

Gọi $I (a, b, c)$ là tọa độ của tâm mặt cầu $S$ .

Vì mặt cầu $S$ đi qua gốc tọa độ $O (0, 0, 0)$ , nên $I O = r = 5$ .

Đặt $I$ nằm trên đường thẳng $d$ và tìm giá trị $t$ sao cho khoảng cách $I O = 5$ .

Giải phương trình để tìm $t$ , từ đó xác định tọa độ của $I$ .

Lời giải chi tiết:

Giả sử $I (a, b, c)$ có tọa độ: $a = 3 - t, b = t, c = 4 + 2 t .$

Do $I O = 5$ , ta có: $I O = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = 5.$

Thay $a = 3 - t$ , $b = t$ , $c = 4 + 2 t$ vào phương trình:

$\begin{array}{l} \sqrt{{(3 - t)}^{2} + t^{2} + {(4 + 2 t)}^{2}} = 5. \\ \Leftrightarrow 9 - 6 t + t^{2} + t^{2} + 16 + 16 t + 4 t^{2} = 25 \\ \Leftrightarrow 6 t^{2} + 10 t + 25 = 25 \\ \Leftrightarrow 2 t (3 t + 5) = 0 \\ \Leftrightarrow t = 0, t = - \frac{5}{3} \end{array}$

Vậy có hai toạ độ tâm I thoả mãn là $I (3; 0; 4)$ hoặc $I (\frac{14}{3}; - \frac{5}{3}; \frac{2}{3})$ .