Giải mục 1 trang 74, 75

HĐ Khởi động

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu 3 điểm A, B, C như hình dưới.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

Mà $b=AC=100,c=AB=75,\hat{A}={32}^o$

$\begin{array}{c}\Rightarrow a^2={100}^2+{75}^2-\mathrm{2.100.75.}\cos {32}^o\approx 2904,28\\ \iff BC=a\approx 54\end{array}$

Vậy khoảng cách giữa hai cây bên bờ sông là 54m.

Thực hành

Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) $a=17,4;\hat{B}={44}^o{30}^{\prime };\hat{C}={64}^o.$

b) $a=10;b=6;c=8.$

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

b) Áp dụng hệ quả của định lí cosin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac};\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Lời giải chi tiết:

a) Ta cần tính góc $\hat{A}$ và hai cạnh $b,c.$

Ta có: $\hat{A}={180}^o-\hat{B}-\hat{C}={180}^o-{44}^o{30}^{\prime }-{64}^o={71}^o{30}^{\prime }.$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{c}\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\Rightarrow \frac{17,4}{\sin {71}^o{30}^{\prime }}=\frac{b}{\sin {44}^o{30}^{\prime }}=\frac{c}{\sin {64}^o}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{c}b=\sin {44}^o{30}^{\prime }.\frac{17,4}{\sin {71}^o{30}^{\prime }}\approx 12,86\\ c=\sin {64}^o.\frac{17,4}{\sin {71}^o{30}^{\prime }}\approx 16,5\end{array}\end{array}$

b) Ta cần tính số đo ba góc $\hat{A},\hat{B},\hat{C}$

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

 $\begin{array}{c}\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ \Rightarrow \cos A=\frac{6^2+8^2-{10}^2}{\mathrm{2.6.8}}=0;\cos B=\frac{{10}^2+8^2-6^2}{\mathrm{2.10.8}}=\frac{4}{5}\\ \Rightarrow \hat{A}={90}^o,\hat{B}={36}^o{52}^{\prime }11,{63}^{\prime \prime }\\ \Rightarrow \hat{C}={53}^o{7}^{\prime }48,{37}^{\prime \prime }\end{array}$