Giải mục 1 trang 80, 81, 82

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tứ giác ABCD có $\hat{A}=\hat{C}={90}^o$ (H.9.28). Hãy giải thích vì sao bốn đỉnh của tứ giác ABCD cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm O của đoạn thẳng BD.

Phương pháp giải:

+ Do tam giác ABD vuông tại A nên ba điểm A, B, D thuộc đường tròn đường kính BD với trung điểm của BD là tâm.

+ Vì tam giác CBD vuông tại C nên ba điểm C, B, D thuộc đường tròn đường kính BD với trung điểm của BD là tâm.

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác ABD vuông tại A nên ba điểm A, B, D thuộc đường tròn đường kính BD. Mà O là trung điểm của BD nên ba điểm A, B, D thuộc đường tròn (O).

Vì tam giác CBD vuông tại C nên ba điểm C, B, D thuộc đường tròn đường kính BD. Mà O là trung điểm của BD nên ba điểm C, B, D thuộc đường tròn (O).

Do đó, 4 đỉnh của tứ giác ABCD cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm O của BD.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 80 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Trên đường tròn (O), lấy các điểm A, B, C, D sao cho tứ giác ABCD là tứ giác lồi (H.9.29). Các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CD, DA có đồng quy hay không?

Phương pháp giải:

+ Gọi E là trung điểm của AD.

+ Chứng minh được OE là đường trung trực của AD.

+ Chứng minh tương tự ta có các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CD cũng đi qua O.

+ Vậy các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CD, DA có đồng quy.

Lời giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của AD. Tam giác AOD cân tại O (do $OA=OD$) nên OE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác. Do đó, $OE\perp AD$ tại E.

Vì $OE\perp AD$ tại E và E là trung điểm của AD nên OE là đường trung trực của AD.

Do đó, đường trung trực của đoạn thẳng AD đi qua O.

Chứng minh tương tự ta có: Các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CD đi qua O.

Vậy các đường trung trực của các cạnh AB, BC, CD, DA có đồng quy.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 81 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Em hãy đo các góc đối nhau A và C của tứ giác ABCD trong HĐ2 và tính tổng $\hat{A}+\hat{C}$. So sánh kết quả của em với các bạn.

Phương pháp giải:

Sử dụng thước đo góc để đo các góc A và C rồi tính tổng $\hat{A}+\hat{C}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\hat{A}={115}^o,\hat{C}={65}^o$ và $\hat{A}+\hat{C}={65}^o+{115}^o={180}^o$

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 81 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF. Biết rằng $\hat{B}={60}^o,\hat{C}={80}^o$.

a) Chứng tỏ rằng tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh BC.

b) Tính số đo của các góc BFE và CEF.

Phương pháp giải:

a) + Chứng minh các tam giác BEC và tam giác BFC là các tam giác vuông.

+ Suy ra, các điểm B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC với tâm là trung điểm của BC.

b) Vì tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên $\widehat{FBC}+\widehat{FEC}={180}^o,\widehat{ECB}+\widehat{BFE}={180}^o$, từ đó tính được các góc BFE và CEF.

Lời giải chi tiết:

a) Vì BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên $BE\perp AC,CF\perp AB$. Do đó, tam giác BFC vuông tại F và tam giác BEC vuông tại E.

Vì tam giác BFC vuông tại F nên ba điểm B, F, C thuộc đường tròn đường kính BC với tâm là trung điểm của BC.

Vì tam giác BEC vuông tại E nên ba điểm B, E, C thuộc đường tròn đường kính BC với tâm là trung điểm của BC.

Vậy tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh BC.

b) Vì tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên

+ $\widehat{FBC}+\widehat{FEC}={180}^o$, hay $\widehat{FEC}={180}^o-\widehat{FBC}={180}^o-{60}^o={120}^o$.

+ $\widehat{ECB}+\widehat{BFE}={180}^o$, hay $\widehat{BFE}={180}^o-\widehat{ECB}={180}^o-{80}^o={100}^o$.

TTN1

Trả lời câu hỏi Thử thách nhỏ 1 trang 82 SGK Toán 9 Kết nối tri thức

Cho tứ giác ABCD, biết rằng các đường trung trực của ba đoạn thẳng AB, AC, AD đồng quy tại một điểm. Hãy giải thích vì sao ABCD là tứ giác nội tiếp.

Phương pháp giải:

+ Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ba đoạn thẳng AB, AC, AD.

+ Sử dụng tính chất đường trung trực chứng minh được $OA=OB=OC=OD$.

+ Suy ra, bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp.

Lời giải chi tiết:

Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ba đoạn thẳng AB, AC, AD.

Vì O thuộc trung trực của AB nên $OA=OB$.

Vì O thuộc trung trực của AC nên $OA=OC$.

Vì O thuộc trung trực của AD nên $OA=OD$.

Do đó, $OA=OB=OC=OD$.

Suy ra, bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O). Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp.