Giải mục 1 trang 80, 81

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số y=f(x)={1khi0≤x≤11+xkhi1<x≤25−xkhi2<x≤3$y=f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}1& khi0\le x\le 1\\ 1+x& khi1<x\le 2\\ 5-x& khi2<x\le 3\end{array}$ có đồ thị như Hình 1.

Tại mỗi điểm x0=1$x_0=1$ và x0=2$x_0=2$, có tồn tại giới hạn limx→x0f(x)$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$ không? Nếu có, giới hạn đó có bằng f(x0)$f\left(x_0\right)$ không?

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính các giới hạn một bên limx→x0+f(x),limx→x0−f(x)$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right),\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)$.

Bước 2: So sánh limx→x0+f(x),limx→x0−f(x)$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right),\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)$

                • Nếu limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=L$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=L$ thì limx→x0f(x)=L$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=L$.

                • Nếu limx→x0+f(x)≠limx→x0−f(x)$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)\ne \underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)$ thì không tồn tại limx→x0f(x)$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$.

Lời giải chi tiết:

• limx→1+f(x)=limx→1+(1+x)=1+1=2$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(1+x\right)=1+1=2$.

limx→1−f(x)=limx→1−1=1$\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}1=1$.

Vì limx→1+f(x)≠limx→1−f(x)$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)$ nên không tồn tại limx→1f(x)$\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)$.

• limx→2+f(x)=limx→2+(5−x)=5−2=3$\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\left(5-x\right)=5-2=3$.

limx→2−f(x)=limx→2−(1+x)=1+2=3$\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(1+x\right)=1+2=3$.

Vì limx→2+f(x)=limx→2−f(x)=3$\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=3$ nên limx→2f(x)=3$\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)=3$.

Ta có: f(2)=1+2=3$f\left(2\right)=1+2=3$.

Vậy limx→2f(x)=f(2)$\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right)=f\left(2\right)$.

TH1

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 81 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Xét tính liên tục của hàm số:

a) f(x)=1−x2$f\left(x\right)=1-x^2$ tại điểm x0=3$x_0=3$;  

b) f(x)={x2+1khix>1−xkhix≤1$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{x}^2+1& khix>1\\ -x& khix\le 1\end{array}$ tại điểm x0=1$x_0=1$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Kiểm tra x0$x_0$ thuộc tập xác định. Tính f(x0)$f\left(x_0\right)$.

Bước 2: Tính limx→x0f(x)$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$ (nếu có).

Bước 3: Kết luận:

• Nếu limx→x0f(x)=f(x0)$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$ thì hàm số liên tục tại điểm x0$x_0$.

• Nếu limx→x0f(x)≠f(x0)$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)\ne f\left(x_0\right)$ hoặc không tồn tại limx→x0f(x)$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$ thì hàm số không liên tục tại điểm x0$x_0$.

Lời giải chi tiết:

a) f(3)=1−32=1−9=−8$f\left(3\right)=1-3^2=1-9=-8$.

limx→3f(x)=limx→3(1−x2)=1−32=1−9=−8$\underset{x\to 3}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{lim}\left(1-x^2\right)=1-3^2=1-9=-8$.

Vì limx→3f(x)=f(3)=−8$\underset{x\to 3}{lim}f\left(x\right)=f\left(3\right)=-8$ nên hàm số y=f(x)$y=f\left(x\right)$ liên tục tại điểm x0=3$x_0=3$.

b) f(1)=−1$f\left(1\right)=-1$.

limx→1+f(x)=limx→1+(x2+1)=12+1=2$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(x^2+1\right)=1^2+1=2$.

limx→1−f(x)=limx→1−(−x)=−1$\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(-x\right)=-1$.

Vì limx→1+f(x)≠limx→1−f(x)$\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)$ nên không tồn tại limx→1f(x)$\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)$.

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x0=1$x_0=1$.