Giải mục 1 trang 82, 83 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 1

Cho đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ .

a) Trong trường hợp $a$ vuông góc với $(P)$ , tìm góc giữa $a$ và một đường thẳng $b$ tuỳ ý trong $(P)$ .

b) Trong trường hợp $a$ không vuông góc với $(P)$ , tìm góc giữa $a$ và đường thẳng $a^{'}$ là hình chiếu vuông góc của $a$ trên $(P)$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{l} a ⊥ (P) \\ b \subset (P) \end{array}} \Rightarrow a ⊥ b \Rightarrow (a, b) = 90^{\circ}$

b) Lấy $A \in a$ . Gọi $O = a \cap (P)$ . Dựng $A H ⊥ a^{'} (H \in a^{'})$ .

Ta có: $(a, a^{'}) = (A O, O H) = \hat{A O H}$

Thực hành 1

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Tính góc giữa các đường thẳng sau đây với mặt phẳng $(A B C D)$ :

a) $A A^{'}$ ;

b) $B C^{'}$ ;

c) $A^{'} C$ .

Phương pháp giải:

Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) $A A^{'} ⊥ (A B C D) \Rightarrow (A A^{'}, (A B C D)) = 90^{\circ}$ .

b) $C C^{'} ⊥ (A B C D)$

$\Rightarrow (B C^{'}, (A B C D)) = (B C^{'}, B C) = \hat{C B C^{'}} = 45^{\circ}$

c) $A A^{'} ⊥ (A B C D)$

$\Rightarrow (A^{'} C, (A B C D)) = (A^{'} C, A C) = \hat{A C A^{'}}$

$\begin{array}{l} A C = A B \sqrt{2} = A A^{'} \sqrt{2} \Rightarrow \tan \hat{A C A^{'}} = \frac{A A^{'}}{A C} = \frac{A A^{'}}{A A^{'} \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow \hat{A C A^{'}} \approx 35, 26^{\circ} \end{array}$

Vậy $(A^{'} C, (A B C D)) \approx 35, 26^{\circ}$

Vận dụng 1

Một tấm ván hình chữ nhật $A B C D$ được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu 2 m. Cho biết $A B = 1 m, A D = 3, 5 m$ . Tính góc giữa đường thẳng $B D$ và đáy hồ.

Phương pháp giải:

Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

$D K ⊥ (A B H K) \Rightarrow (B D, (A B H K)) = (B D, B K) = \hat{D B K}$

$D K = C H = 2, A K = \sqrt{A D^{2} - D K^{2}} = \frac{\sqrt{33}}{2}, K B = \sqrt{A K^{2} + A B^{2}} = \frac{\sqrt{37}}{2}$

$\tan \hat{D B K} = \frac{D K}{K B} = \frac{4}{\sqrt{37}} \Rightarrow \hat{D B K} \approx 33, 3^{\circ}$

Vậy góc giữa đường thẳng $B D$ và đáy hồ bằng $33, 3^{\circ}$ .