Giải mục 1 trang 82, 83

Hoạt động 1

Cho đường thẳng $a$ và mặt phẳng $\left(P\right)$.

a) Trong trường hợp $a$ vuông góc với $\left(P\right)$, tìm góc giữa $a$ và một đường thẳng $b$ tuỳ ý trong $\left(P\right)$.

b) Trong trường hợp $a$ không vuông góc với $\left(P\right)$, tìm góc giữa $a$ và đường thẳng $a^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của $a$ trên $\left(P\right)$.

Phương pháp giải:

 Sử dụng tính chất: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{c}a\perp \left(P\right)\\ b\subset \left(P\right)\end{array}\}\Rightarrow a\perp b\Rightarrow \left(a,b\right)={90}^{\circ }$

b) Lấy $A\in a$. Gọi $O=a\cap \left(P\right)$. Dựng $AH\perp a^{\prime }\left(H\in a^{\prime }\right)$.

Ta có: $\left(a,a^{\prime }\right)=\left(AO,OH\right)=\widehat{AOH}$

Thực hành 1

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Tính góc giữa các đường thẳng sau đây với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$:

a) $A{A}^{\prime }$;                           

b) $B{C}^{\prime }$;                           

c) $A^{\prime }C$.

Phương pháp giải:

Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) $A{A}^{\prime }\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow \left(A{A}^{\prime },\left(ABCD\right)\right)={90}^{\circ }$.

b) $C{C}^{\prime }\perp \left(ABCD\right)$

$\Rightarrow \left(B{C}^{\prime },\left(ABCD\right)\right)=\left(B{C}^{\prime },BC\right)=\widehat{CB{C}^{\prime }}={45}^{\circ }$

c) $A{A}^{\prime }\perp \left(ABCD\right)$

$\Rightarrow \left(A^{\prime }C,\left(ABCD\right)\right)=\left(A^{\prime }C,AC\right)=\widehat{AC{A}^{\prime }}$

$\begin{array}{c}AC=AB\sqrt{2}=A{A}^{\prime }\sqrt{2}\Rightarrow \tan \widehat{AC{A}^{\prime }}=\frac{A{A}^{\prime }}{AC}=\frac{A{A}^{\prime }}{A{A}^{\prime }\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \Rightarrow \widehat{AC{A}^{\prime }}\approx 35,{26}^{\circ }\end{array}$

Vậy $\left(A^{\prime }C,\left(ABCD\right)\right)\approx 35,{26}^{\circ }$

Vận dụng 1

Một tấm ván hình chữ nhật $ABCD$ được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu 2 m. Cho biết $AB=1m,AD=3,5m$. Tính góc giữa đường thẳng $BD$ và đáy hồ.

Phương pháp giải:

Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

$DK\perp \left(ABHK\right)\Rightarrow \left(BD,\left(ABHK\right)\right)=\left(BD,BK\right)=\widehat{DBK}$

$DK=CH=2,AK=\sqrt{A{D}^2-D{K}^2}=\frac{\sqrt{33}}{2},KB=\sqrt{A{K}^2+A{B}^2}=\frac{\sqrt{37}}{2}$

$\tan \widehat{DBK}=\frac{DK}{KB}=\frac{4}{\sqrt{37}}\Rightarrow \widehat{DBK}\approx 33,3^{\circ }$

Vậy góc giữa đường thẳng $BD$ và đáy hồ bằng $33,3^{\circ }$.