Giải mục 1 trang 94, 95 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 1

Cho vectơ $\vec{a}$ . Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ $\vec{a} + \vec{a}, (- \vec{a}) + (- \vec{a})$ : (Hình 1)

Lời giải chi tiết:

Dựa vào hình 1 ta thấy

Vectơ $\vec{a} + \vec{a} = \vec{A C}$ có độ dài bằng 2 lần vectơ $\vec{a}$ và cùng hướng với vectơ $\vec{a}$

Vectơ $(- \vec{a}) + (- \vec{a}) = \vec{D F}$ có độ dài bằng 2 lần vectơ $(- \vec{a})$ và cùng hướng với vectơ $(- \vec{a})$

Thực hành 1

Cho hai vectơ cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ và điểm M như hình 3.

a) Hãy vẽ vectơ $\vec{M N} = 3 \vec{a}, \vec{M P} = - 3 \vec{b}$

b) Cho biết mỗi ô có cạnh bằng 1. Tính: $| 3 \vec{b} |, | - 3 \vec{b} |, | 2 \vec{a} + 2 \vec{b} |$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hướng của vectơ $\vec{a}; \vec{b}$

Bước 2: Xác định tỉ lệ độ dài $\frac{| \vec{x} |}{| \vec{a} |}$

Lời giải chi tiết:

a) $\vec{M N} = 3 \vec{a}$ có độ dài bằng 3 lần vectơ $\vec{a}$ , cùng hướng với vectơ $\vec{a}$

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MN với độ dài là 6 ô vuông và có hướng từ trái sang phải

$\vec{M P} = - 3 \vec{b}$ có độ dài bằng 3 lần vectơ $- \vec{b}$ , ngược hướng với vectơ $\vec{b}$

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MP với độ dài là 3 đường chéo ô vuông và có hướng từ trên xuống dưới chếch sang trái

b) Hình vuông với cạnh bằng 1 thì ta tính được đường chéo có độ dài là $\sqrt{2}$ ; $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ . Suy ra:

$| 3 \vec{b} | = 3 | \vec{b} | = 3 \sqrt{2}$ ; $| - 3 \vec{b} | = 3 | \vec{- b} | = 3 \sqrt{2}$ ; $| 2 \vec{a} + 2 \vec{b} | = | 2 (\vec{a} + \vec{b}) | = 2 | \vec{a} + \vec{b} |$

Từ điểm cuối của vectơ $\vec{a}$ vẽ một vectơ bằng vectơ $\vec{b}$ ta có $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$

Áp dụng định lý cosin ta tính được độ dài của vectơ $\vec{c}$ là $| \vec{c} | = \sqrt{{| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2} - 2 | \vec{a} | | \vec{b} | \cos (\hat{\vec{a}, \vec{b}})} = \sqrt{2^{2} + {\sqrt{2}}^{2} - 2.2. \sqrt{2} . \cos (135^{\circ})} = \sqrt{10}$

$\Rightarrow | 2 \vec{a} + 2 \vec{b} | = 2 | \vec{a} + \vec{b} | = 2 | \vec{c} | = 2 \sqrt{10}$

Thực hành 2

Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc 3 điểm $\vec{M A} = \vec{M G} + \vec{G A}$

Lời giải chi tiết:

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G} \Leftrightarrow \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C} = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow (\vec{M G} + \vec{M G} + \vec{M G}) + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = 3 \vec{M G}$

$\Leftrightarrow 3 \vec{M G} = 3 \vec{M G}$ (đpcm) ( Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ )

Vận dụng

Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lý/ giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lý/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc $\vec{b}$ của tàu B theo vectơ vận tốc $\vec{a}$ của tòa A.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy hai hướng đông và tây là ngược nhau và tỉ số độ dài $\frac{| \vec{b} |}{| \vec{a} |} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$

$\Rightarrow \vec{b} = - \frac{5}{2} \vec{a}$ .