Giải mục 1 trang 95

a) Gọi (gleft( x right)) có đạo hàm của hàm số (y = sin left( {2x + frac{pi }{4}} right).) Tìm (gleft( x right)).

HĐ 1

Video hướng dẫn giải

a) Gọi $g (x)$ là đạo hàm của hàm số $y = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ . Tìm $g (x)$ .

b) Tính đạo hàm của hàm số $y = g (x)$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${(\sin u)}^{'} = u^{'} . \cos u$ ; ${(\cos u)}^{'} = - u^{'} . \sin u$ .

Lời giải chi tiết:

a) $g^{'} (x) = {(2 x + \frac{π}{4})}^{'} . \cos (2 x + \frac{π}{4})$

$= 2 \cos (2 x + \frac{π}{4})$ .

b) $g^{'} (x) = - 2 {(2 x + \frac{π}{4})}^{'} . \sin (2 x + \frac{π}{4})$

$= - 4 \sin (2 x + \frac{π}{4})$ .

LT 1

Video hướng dẫn giải

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y = x e^{2 x}$ ;

b) $y = \ln (2 x + 3)$ .

Phương pháp giải:

Giả sử hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm tại mỗi điểm $x \in (a; b)$ . Nếu hàm số $y^{'} = f^{'} (x)$ lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của $y^{'}$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f (x)$ tại x, kí hiệu là $y^{″}$ hoặc $f^{″} (x)$ .

Lời giải chi tiết:

a) $y^{'} = x^{'} . e^{2 x} + x . (e^{2 x})^{'}$

$= 1. e^{2 x} + x . (2 x)^{'} . e^{2 x}$

$= e^{2 x} + 2 x e^{2 x}$ .

$y^{″} = (2 x)^{'} . e^{2 x} + 2^{'} . (x e^{2 x}) + 2. (x e^{2 x})^{'}$

$= 2 e^{2 x} + 0. (x e^{2 x}) + 2 [x^{'} . (e^{2 x}) + x . (e^{2 x})^{'}]$

$= 2 e^{2 x} + 2 [1. (e^{2 x}) + x . (2 x)^{'} . e^{2 x}]$

$= 2 e^{2 x} + 2 (e^{2 x} + 2 x e^{2 x})$

$= 2 e^{2 x} + 2 e^{2 x} + 4 x e^{2 x}$

$= 4 e^{2 x} + 4 x e^{2 x}$ .

b) $y^{'} = \frac{{(2 x + 3)}^{'}}{2 x + 3} = \frac{2}{2 x + 3}$ .

$y^{″} = \frac{2^{'} . (2 x - 3) - 2. {(2 x + 3)}^{'}}{{(2 x + 3)}^{2}}$

$= \frac{0. (2 x - 3) - 2.2}{{(2 x + 3)}^{2}}$

$= \frac{- 4}{{(2 x + 3)}^{2}}$ .