Giải mục 2 trang 107, 108, 109, 110

Hoạt động 2

Cho hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$. Biết rằng hai đường thẳng a và b nằm trong $\left(\alpha \right)$ sao cho $a//\left(\beta \right)$ và $b//\left(\beta \right)$.

a) Vì sao $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ là hai mặt phẳng phân biệt?

b) Nếu $\left(\alpha \right)$ cắt $\left(\beta \right)$ theo giao tuyến c thì c có song song với a và b hay không?

c) Nếu a cắt b tại M thì $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ có thể có điểm chung hay không ?

Phương pháp giải:

a) Hai mặt phẳng phân biệt là hai mặt phẳng không trùng nhau.

b) Cho a // (P). Nếu (Q) chứa a và (Q) cắt (P) theo giao tuyến b thì a // b.

c) Chứng minh phản chứng (Giả sử $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ có điểm chung).

Lời giải chi tiết:

a) Nếu $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ trùng nhau thì a, b song song với $\left(\alpha \right)$

Mà a, b nằm trong $\left(\alpha \right)$ (Mâu thuẫn)

Vậy $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ là hai mặt phẳng phân biệt.

b) $a//\left(\beta \right)$, $b//\left(\beta \right)$

Mà $\left(\alpha \right)$ cắt $\left(\beta \right)$ theo giao tuyến c nên a // c, b // c.

c) Giả sử $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ có điểm chung. Vì $\left(\alpha \right)$ cắt $\left(\beta \right)$ là 2 mặt phẳng phân biệt nên $\left(\alpha \right)$ cắt $\left(\beta \right)$

Theo phần b, suy ra a // c // b (Mâu thuẫn)

Vậy nếu a cắt b tại M thì $\left(\alpha \right)$ cắt $\left(\beta \right)$ không có điểm chung.

Luyện tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABCD).

Phương pháp giải:

Nếu mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác SAB có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN // AB. Suy ra MN // (ABCD).

Xét tam giác SBC có N, P lần lượt là trung điểm của SB, SC nên NP // BC. Suy ra NP // (ABCD).

Vậy (MNP) // (ABCD).

Hoạt động 3

Cho điểm A nằm ngoài một mặt phẳng $\left(\beta \right)$. Trong $\left(\beta \right)$, lấy hai đường thẳng cắt nhau a và b. Vẽ các đường thẳng $d_1$, $d_2$ qua A và lần lượt song song với a, b. Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng xác định bởi $d_1$ và $d_2$. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ có điểm chung không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Nếu mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{d}_1//a\\ a\subset \left(\beta \right)\end{array}\Rightarrow d_1//\left(\beta \right)\\ \{\begin{array}{c}{d}_2//b\\ b\subset \left(\beta \right)\end{array}\Rightarrow d_2//\left(\beta \right)\end{array}$

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa $d_1$, $d_2$ cắt nhau tại A và cùng song song với $\left(\beta \right)$ nên $\left(\alpha \right)$ song song với $\left(\beta \right)$.

Vậy mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ không điểm chung.

Luyện tập 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Lấy M là trung điểm của đoạn AD. Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAC). Xác định giao tuyến của $\left(\alpha \right)$ với các mặt của hình chóp đã cho.

Phương pháp giải:

Kẻ 2 đường thẳng đi qua M và song song với 2 đường thẳng trong (SAC).

Lời giải chi tiết:

Trong tam giác SAD, vẽ đường thẳng đi qua M, song song với SA, cắt SD tại E (tức ME là đường trung bình của tam giác SAD), suy ra ME // (SAC) (1).

Trong tam giác ACD, vẽ đường thẳng đi qua M, song song với AC, cắt CD tại F (tức MF là đường trung bình của tam giác ACD), suy ra MF // (SAC) (2).

Từ (1) và (2) suy ra (ME, MF) // (SAC), do đó (MEF) là $\left(\alpha \right)$.

$\begin{array}{c}\left(MEF\right)\cap \left(ABCD\right)=MF\\ \left(MEF\right)\cap \left(SAD\right)=ME\\ \left(MEF\right)\cap \left(SCD\right)=EF\end{array}$

Luyện tập 4

Cho hình chóp S.ABC. Gọi M là trung điểm của SA. Một đường thẳng d đi qua M và song song với mặt phẳng (ABC) nhưng không song song với BC. Xác định giao điểm của d với mặt phẳng (SBC).

Phương pháp giải:

Kẻ đường thẳng đi qua M và song song với một đường thẳng nằm trong (SBC) khác BC.

Lời giải chi tiết:

Trong tam giác SAB, vẽ đường thẳng d đi qua M và song song với AB, cắt SB tại D (tức MD là đường trung bình của tam giác SAB), suy ra MD // (ABC).

Vậy giao điểm của d với (ABC) là D.

Hoạt động 4

Cho mặt phẳng $\left(\gamma \right)$ cắt hai mặt phẳng song song $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ lần lượt theo hai giao tuyến a và b. Hỏi a và b có điểm chung hay không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng song song thì song song hoặc chéo nhau.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng a, b lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ song song với nhau nên a và b song song hoặc chéo nhau.

Luyện tập 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy lớn AD = 2BC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và SD.

a) Chứng minh rằng (SAB) // (CIK).

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD. Lấy M là điểm bất kì trên đoạn CD, đường thẳng OM cắt CI, AB lần lượt tại N, P và SM cắt CK tại Q. Chứng minh rằng SP // NQ.

Phương pháp giải:

a) Nếu mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

b) Cho 2 mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Xét tam giác SAD có I, K lần lượt là trung điểm của AD, SD nên IK // SA.

Ta có có AD // BC (ABCD là hình thang), AI = BC nên ABCI là hình bình hành. Suy ra IC // AB.

Vậy (CIK) // (SAB).

b)

$\begin{array}{c}\left(SAB\right)\cap \left(SPM\right)=SP\\ \left(CIK\right)\cap \left(SPM\right)=NQ\end{array}$

Mà (SAB) // (CIK) (cmt) nên SP // NQ.