Giải mục 2 trang 108, 109

HĐ3

Video hướng dẫn giải

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 108 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho đường tròn $(O; R)$ . Các đường thẳng $c, d$ lần lượt tiếp xúc với đường tròn $(O; R)$ tại $A, B$ và cắt nhau tại $M$ (Hình 38).

a) Các tam giác $M O A$ và $M O B$ có bằng nhau hay không?

b) Hai đoạn thẳng $M A$ và $M B$ có bằng nhau hay không?

c) Tia $M O$ có phải là tia phân giác của góc $A M B$ hay không?

d) Tia $O M$ có phải là tia phân giác của góc $A O B$ hay không?

Phương pháp giải:

Dựa vào tam giác bằng nhau để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

a) Do $M A$ là tiếp tuyến của $(O; R)$ nên $M A ⊥ A O$ suy ra $\hat{M A O} = 90^{\circ}$ .

Do $M B$ là tiếp tuyến của $(O; R)$ nên $M B ⊥ B O$ suy ra $\hat{M B O} = 90^{\circ}$ .

Xét tam giác $M O A$ và tam giác $M O B$ có:

$\hat{M A O} = \hat{M B O} = 90^{\circ}$

$O A = O B = R$

$O M$ chung

$\Rightarrow Δ M O A = Δ M O B$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

b) Do $Δ M O A = Δ M O B$ nên $M A = M B$ (2 cạnh tương ứng).

c) Do $Δ M O A = Δ M O B$ nên $\hat{A M O} = \hat{B M O}$ (2 góc tương ứng) suy ra $M O$ là tia phân giác của góc $A M B$ .

d) Do $Δ M O A = Δ M O B$ nên $\hat{M O A} = \hat{M O B}$ (2 góc tương ứng) suy ra $O M$ là tia phân giác của góc $A O B$ .

LT4

Video hướng dẫn giải

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 109 SGK Toán 9 Cánh diều

Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Hai đường thẳng $c, d$ qua $M$ lần lượt tiếp xúc với $(O)$ tại $A, B$ biết $\hat{A M B} = 120^{\circ}$ . Chứng minh $A B = R$ .

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và tỉ số lượng giác để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Cách 1.

Vì $M A, M B$ là các tiếp tuyến của $(O)$ nên MO là tia phân giác của góc AMB, suy ra $\hat{A M O} = \hat{B M O} = \frac{\hat{A M B}}{2} = 60^{\circ}$ .

Xét tam giác $A M O$ vuông tại $A$ có:

$\hat{A M O} + \hat{M O A} = 90 60^{\circ} + \hat{M O A} = 90^{\circ} \hat{M O A} = 30^{\circ}$

Vì $M A, M B$ là các tiếp tuyến của $(O)$ nên OM là tia phân giác của góc AOB, suy ra $\hat{A O B} = 2 \hat{A O M} = {2.30}^{\circ} = 60^{\circ}$ .

Xét tam giác $A O B$ có: $O A = O B = R$ nên tam giác $A O B$ cân tại $O$ .

Lại có $\hat{A O B} = 60^{\circ}$ suy ra tam giác $A O B$ là tam giác đều.

Vậy $A O = O B = A B = R$ .

Cách 2.

Vì MA, MB là tiếp tuyến của $(O)$ nên $M A ⊥ O A$ , $M B ⊥ O B$ suy ra $\hat{M A O} = \hat{M B O} = 90^{\circ}$

Xét tứ giác OAMB có:

$\hat{A M B} + \hat{M A O} + \hat{M B O} + \hat{A O B} = 360^{\circ}$

Suy ra $\hat{O} = 360^{\circ} - 120^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ}$

Xét $Δ O A B$ có $O A = O B = R$ suy ra $Δ O A B$ cân tại $O$

Lại có $\hat{O} = 60^{\circ}$ (cmt)

Suy ra $Δ O A B$ đều

Do đó $O A = O B = A B = R$ (đpcm)