Giải mục 2 trang 11, 12, 13, 14, 15

Hoạt động 3

a) Từ định nghĩa của $\sin \alpha$và $\cos \alpha$, hãy tính ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$.

b) Từ định nghĩa của $\tan \alpha$ và $\cot \alpha$, hãy tính $\tan \alpha .\cot \alpha$.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Luyện tập 4

Cường độ ánh sáng I đi xuyên qua một màn lọc ánh sáng được tính bởi công thức $I=I_m-\frac{I_m}{1+{\cot }^2\alpha }$, trong đó I_m là cường độ ánh sáng đã chiếu lên màn lọc ánh sáng và là góc $\alpha$ như trong Hình 1.21 (nguồn: http://www.vedantu.com/iit-jee/malus-law). Chứng minh rằng: $I=I_m{\cos }^2\alpha$.

Phương pháp giải:

Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}I=I_m-\frac{I_m}{1+{\cot }^2\alpha }=I_m\left(1-\frac{1}{1+{\cot }^2\alpha }\right)=I_m.\left(1-\frac{1}{\frac{1}{{\sin }^2\alpha }}\right)\\ =I_m.\left(1-{\sin }^2\alpha \right)=I_m.{\cos }^2\alpha \end{array}$

Hoạt động 4

a) Dựa vào Hình 1.22, hãy so sánh $\cos \left(-\alpha \right)$ và $\cos \left(\alpha \right)$; $\sin \left(-\alpha \right)$ và $\sin \left(\alpha \right)$.

b) Từ đó so sánh $\tan \left(-\alpha \right)$ và $\tan \left(\alpha \right)$; $\cot \left(-\alpha \right)$ và $\cot \left(\alpha \right)$.

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.22, ta thấy:

$\cos \left(-\alpha \right)$ = $\cos \left(\alpha \right)$

$\sin \left(-\alpha \right)=-\sin \left(\alpha \right)$

b)

$\begin{array}{c}\tan \left(-\alpha \right)=\frac{\sin \left(-\alpha \right)}{\cos \left(-\alpha \right)}=\frac{-\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\tan \alpha \\ \cot \left(-\alpha \right)=\frac{\cos \left(-\alpha \right)}{\sin \left(-\alpha \right)}=\frac{\cos \alpha }{-\sin \alpha }=-\cot \alpha \end{array}$

Hoạt động 5

a) Dựa vào Hình 1.23, hãy so sánh $\sin \left(\pi -\alpha \right)$ và $\sin \left(\alpha \right)$; $\cos \left(\pi -\alpha \right)$ và $\cos \left(\alpha \right)$.

b) Từ đó so sánh $\tan \left(\pi -\alpha \right)$ và $\tan \left(\alpha \right)$; $\cot \left(\pi -\alpha \right)$ và $\cot \left(\alpha \right)$.

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.23, ta thấy:

$\sin \left(\pi -\alpha \right)$ = $\sin \left(\alpha \right)$

$\cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \left(\alpha \right)$

b) $\tan \left(\pi -\alpha \right)=\frac{\sin \left(\pi -\alpha \right)}{\cos \left(\pi -\alpha \right)}=\frac{\sin \alpha }{-\cos \alpha }=-\tan \alpha$

$\cot \left(\pi -\alpha \right)=\frac{1}{\tan \left(\pi -\alpha \right)}=\frac{1}{-\tan \alpha }=-\cot \alpha$

Hoạt động 6

a) Dựa vào Hình 1.24, hãy so sánh $\sin \left(\alpha +\pi \right)$ và $\sin \left(\alpha \right)$; $cos\left(\alpha +\pi \right)$ và $\cos \left(\alpha \right)$.

b) Từ đó so sánh $\tan \left(\alpha +\pi \right)$ và $\tan \left(\alpha \right)$; $\cot \left(\alpha +\pi \right)$ và $\cot \left(\alpha \right)$.

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.24, ta thấy:

$\sin \left(\alpha +\pi \right)=-\sin \alpha$

$cos\left(\alpha +\pi \right)=-\cos \alpha$

b) $\tan \left(\alpha +\pi \right)=\frac{\sin \left(\alpha +\pi \right)}{\cos \left(\alpha +\pi \right)}=\frac{-\sin \alpha }{-\cos \alpha }=\tan \alpha$

$\cot \left(\alpha +\pi \right)=\frac{\cos \left(\alpha +\pi \right)}{\sin \left(\alpha +\pi \right)}=\frac{-\cos \alpha }{-\sin \alpha }=\cot \alpha$

Hoạt động 7

a) Dựa vào Hình 1.25, hãy so sánh $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ và $\cos \left(\alpha \right)$; $cos\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ và $\sin \left(\alpha \right)$.

b) Từ đó so sánh $\tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ và $\cot \left(\alpha \right)$; $\cot \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ và $\tan \left(\alpha \right)$.

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.25, ta thấy:

$\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = $\cos \left(\alpha \right)$

$cos\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = $\sin \left(\alpha \right)$

b) $\tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\frac{\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)}{\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)}=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\cot \alpha$

$\cot \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\frac{\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)}{\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha$

Luyện tập 5

Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc $\alpha$:

$B={\sin }^2\left(\alpha +\pi \right)+{\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)+\cos \left(-\alpha \right)+\cos \left(\pi -\alpha \right)$

Phương pháp giải:

Áp dụng các hệ thức giữa giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{c}B={\sin }^2\left(\alpha +\pi \right)+{\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)+\cos \left(-\alpha \right)+\cos \left(\pi -\alpha \right)\\ \iff B={\left(-\sin \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha +\cos \alpha -\cos \alpha \\ \iff B={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \\ \iff B=1\end{array}$

Vậy B không phụ thuộc $\alpha$.