Giải mục 2 trang 11, 12, 13, 14, 15

a) Từ định nghĩa của sinαsin⁡α\sin \alpha và cosαcos⁡α\cos \alpha , hãy tính sin2α+cos2αsin2α+cos2α{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha . b) Từ định nghĩa của tanαtan⁡α\tan \alpha và cotαcot⁡α\cot \alpha , hãy tính tanα.cotαtan⁡α.cot⁡α\tan \alpha .\cot \alpha .

Hoạt động 3

a) Từ định nghĩa của $\sin α$ và $\cos α$ , hãy tính $\sin^{2} α + \cos^{2} α$ .

b) Từ định nghĩa của $\tan α$ và $\cot α$ , hãy tính $\tan α . \cot α$ .

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Luyện tập 4

Cường độ ánh sáng I đi xuyên qua một màn lọc ánh sáng được tính bởi công thức $I = I_{m} - \frac{I_{m}}{1 + \cot^{2} α}$ , trong đó I_m là cường độ ánh sáng đã chiếu lên màn lọc ánh sáng và là góc $α$ như trong Hình 1.21 (nguồn: http://www.vedantu.com/iit-jee/malus-law). Chứng minh rằng: $I = I_{m} \cos^{2} α$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} I = I_{m} - \frac{I_{m}}{1 + \cot^{2} α} = I_{m} (1 - \frac{1}{1 + \cot^{2} α}) = I_{m} . (1 - \frac{1}{\frac{1}{\sin^{2} α}}) \\ = I_{m} . (1 - \sin^{2} α) = I_{m} . \cos^{2} α \end{array}$

Hoạt động 4

a) Dựa vào Hình 1.22, hãy so sánh $\cos (- α)$ và $\cos (α)$ ; $\sin (- α)$ và $\sin (α)$ .

b) Từ đó so sánh $\tan (- α)$ và $\tan (α)$ ; $\cot (- α)$ và $\cot (α)$ .

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.22, ta thấy:

$\cos (- α)$ = $\cos (α)$

$\sin (- α) = - \sin (α)$

$\begin{array}{l} \tan (- α) = \frac{\sin (- α)}{\cos (- α)} = \frac{- \sin α}{\cos α} = - \tan α \\ \cot (- α) = \frac{\cos (- α)}{\sin (- α)} = \frac{\cos α}{- \sin α} = - \cot α \end{array}$

Hoạt động 5

a) Dựa vào Hình 1.23, hãy so sánh $\sin (π - α)$ và $\sin (α)$ ; $\cos (π - α)$ và $\cos (α)$ .

b) Từ đó so sánh $\tan (π - α)$ và $\tan (α)$ ; $\cot (π - α)$ và $\cot (α)$ .

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.23, ta thấy:

$\sin (π - α)$ = $\sin (α)$

$\cos (π - α) = - \cos (α)$

b) $\tan (π - α) = \frac{\sin (π - α)}{\cos (π - α)} = \frac{\sin α}{- \cos α} = - \tan α$

$\cot (π - α) = \frac{1}{\tan (π - α)} = \frac{1}{- \tan α} = - \cot α$

Hoạt động 6

a) Dựa vào Hình 1.24, hãy so sánh $\sin (α + π)$ và $\sin (α)$ ; $c o s (α + π)$ và $\cos (α)$ .

b) Từ đó so sánh $\tan (α + π)$ và $\tan (α)$ ; $\cot (α + π)$ và $\cot (α)$ .

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.24, ta thấy:

$\sin (α + π) = - \sin α$

$c o s (α + π) = - \cos α$

b) $\tan (α + π) = \frac{\sin (α + π)}{\cos (α + π)} = \frac{- \sin α}{- \cos α} = \tan α$

$\cot (α + π) = \frac{\cos (α + π)}{\sin (α + π)} = \frac{- \cos α}{- \sin α} = \cot α$

Hoạt động 7

a) Dựa vào Hình 1.25, hãy so sánh $\sin (\frac{π}{2} - α)$ và $\cos (α)$ ; $c o s (\frac{π}{2} - α)$ và $\sin (α)$ .

b) Từ đó so sánh $\tan (\frac{π}{2} - α)$ và $\cot (α)$ ; $\cot (\frac{π}{2} - α)$ và $\tan (α)$ .

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.25, ta thấy:

$\sin (\frac{π}{2} - α)$ = $\cos (α)$

$c o s (\frac{π}{2} - α)$ = $\sin (α)$

b) $\tan (\frac{π}{2} - α) = \frac{\sin (\frac{π}{2} - α)}{\cos (\frac{π}{2} - α)} = \frac{\cos α}{\sin α} = \cot α$

$\cot (\frac{π}{2} - α) = \frac{\cos (\frac{π}{2} - α)}{\sin (\frac{π}{2} - α)} = \frac{\sin α}{\cos α} = \tan α$

Luyện tập 5

Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc $α$ :

$B = \sin^{2} (α + π) + \sin^{2} (\frac{π}{2} - α) + \cos (- α) + \cos (π - α)$

Phương pháp giải:

Áp dụng các hệ thức giữa giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} B = \sin^{2} (α + π) + \sin^{2} (\frac{π}{2} - α) + \cos (- α) + \cos (π - α) \\ \Leftrightarrow B = {(- \sin α)}^{2} + \cos^{2} α + \cos α - \cos α \\ \Leftrightarrow B = \sin^{2} α + \cos^{2} α \\ \Leftrightarrow B = 1 \end{array}$

Vậy B không phụ thuộc $α$ .