Giải mục 2 trang 114, 115, 116, 117 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2

Bảng sau thống kê số sách mỗi bạn học sinh Tổ 1 và Tổ 2 đã đọc ở thư viện trường trong một tháng:

Tổ 1	3	1	2	1	2	2	3	25	1
Tổ 2	4	5	4	3	3	4	5	4

a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 và mỗi bạn Tổ 2 đọc bao nhiêu quyển sách ở thư viện trường trong tháng đó?

b) Em hãy thảo luận với các bạn trong nhóm xem tổ nào chăm đọc sách ở thư viện hơn.

Lời giải chi tiết:

a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 đọc:

$\frac{3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3 + 25 + 1}{9} \approx 4, 44$ (quyển sách)

Trung bình mỗi bạn Tổ 2 đọc:

$\frac{4 + 5 + 4 + 3 + 3 + 4 + 5 + 4}{8} = 4$ (quyển sách)

b) Sắp xếp số sách mối bạn Tổ 1 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được dãy:

1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 25

Vì cỡ mẫu bằng 9 nên trung vị của Tổ 1 là số liệu thứ 5 của dãy trên, tức là $M_{e} = 2.$

Sắp xếp số sách mối bạn Tổ 2 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được dãy:

3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5.

Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của Tổ 2 là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là $M_{e} = \frac{1}{2} (4 + 4) = 4.$

Vậy nếu so sánh theo trung vị thì các bạn Tổ 2 đọc nhiều sách ở thư viện hơn các bạn Tổ 1.

Thực hành 1

Hãy tìm trung vị của các số liệu ở Vận dụng 1 và Vận dụng 2.

Phương pháp giải:

Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.

Bước 2: Tìm cỡ mẫu n.

+ Nếu $n = 2 k - 1$ thì trung vị là số liệu thứ k

+ Nếu $n = 2 k$ thì trung vị $= \frac{1}{2} ($ số liệu thứ k + số liệu thứ (k+1))

Lời giải chi tiết:

Vận dụng 1:

Nhóm A	12,2	13,5	12,7	13,1	12,5	12,9	13,2	12,8
Nhóm B	12,1	13,4	13,2	12,9	13,7

Sắp xếp thời gian chạy của nhóm A theo thứ tự không giảm ta được dãy:

$12, 2; 12, 5; 12, 7; 12, 8; 12, 9; 13, 1; 13, 2; 13, 5$

Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của nhóm A là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là $M_{e} = \frac{1}{2} (12, 8 + 12, 9) = 12, 85.$

Sắp xếp thời gian chạy của nhóm B theo thứ tự không giảm ta được dãy:

$12, 1; 12, 9; 13, 2; 13, 4; 13, 7$

Vì cỡ mẫu bằng 5 nên trung vị của nhóm B là số liệu thứ 3 của dãy trên, tức là $M_{e} = 13, 2.$

Vận dụng 2:

Số bàn thắng	0	1	2	3	4	6
Số trận	5	10	5	3	2	1

Sắp xếp số bàn thắng của đội theo thứ tự không giảm ta được dãy:

$0; 0; 0; 0; 0; \underset{10 s o 1}{\underset{⏟}{1; . . .; 1}}; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 6.$

Vì cỡ mẫu bằng $5 + 10 + 5 + 3 + 2 + 1 = 26$ nên trung vị của đội là trung bình cộng của số liệu thứ 13 và thứ 14 của dãy trên, tức là $M_{e} = \frac{1}{2} (1 + 1) = 1.$

HĐ Khám phá 3

Cân nặng của 20 vận động viên môn vật của một câu lạc bộ được ghi lại ở bảng sau:

50	56	57	62	58	52	66	61	54	61
64	69	52	65	58	68	67	56	59	54

Để thuận tiện cho việc luyện tập, ban huấn luyện muốn xếp 20 vận động viên trên thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 25% số vận động viên có cân nặng gần nhau. Bạn hãy giúp ban huấn luyện xác định các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên.

Phương pháp giải:

Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.

Bước 2: Tính cỡ mẫu n, tìm tứ phân vị thứ hai $Q_{2}$ (chính là trung vị của mẫu).

Bước 3: Tìm tứ phân vị thứ nhất: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ)

Bước 4: Tìm tứ phân vị thứ ba: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ)

Lời giải chi tiết:

Sắp xếp các cân nặng theo thứ tự không giảm, ta được dãy:

50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58; 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69.

+) Vì cỡ mẫu $n = 20$ , là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là $Q_{2} = \frac{1}{2} (58 + 59) = 58, 5$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58.

Do đó $Q_{1} = \frac{1}{2} (54 + 56) = 55$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69.

Do đó $Q_{3} = \frac{1}{2} (64 + 65) = 64, 5$

Vậy 3 ngưỡng cân nặng để phân nhóm là: 55kg; 58,5 kg; 64,5 kg.

Thực hành 2

Hãy tìm tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a) 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7

b) 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15

Phương pháp giải:

Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.

Bước 2: Tính cỡ mẫu n, tìm tứ phân vị thứ hai $Q_{2}$ (chính là trung vị của mẫu).

Bước 3: Tìm tứ phân vị thứ nhất: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ)

Bước 4: Tìm tứ phân vị thứ ba: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ)

Lời giải chi tiết:

a) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19

+) Vì cỡ mẫu là $n = 9$ , là số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là $Q_{2} = 10$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 2; 5; 7.

Do đó $Q_{1} = \frac{1}{2} (2 + 5) = 3, 5$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 10; 13; 15; 19.

Do đó $Q_{3} = \frac{1}{2} (13 + 15) = 14$

b) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19

+) Vì cỡ mẫu là $n = 10$ , là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là $Q_{2} = \frac{1}{2} (9 + 10) = 9, 5$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 5; 5; 9.

Do đó $Q_{1} = 5$

+) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 10; 10; 15; 15; 19.

Do đó $Q_{3} = 15$