Giải mục 2 trang 114, 115

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 114 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho hàm số $f\left(x\right)=1+\frac{2}{x-1}$ có đồ thị như Hình 5.4.

Giả sử $\left(x_n\right)$ là dãy số sao cho $x_n>1$, $x_n\to +\infty$. Tính $f\left(x_n\right)$ và $\underset{n\to +\infty }{lim}f\left(x_n\right)$.

Phương pháp giải:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;+\infty \right)$. Ta có hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn là số L khi $x\to +\infty$ nếu dãy số $\left(x_n\right)$ bất kỳ, $x_n>a$ và $x_n\to +\infty$, ta có $f\left(x_n\right)\to L,$ kí hiệu $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=L$hay $f\left(x\right)\to L$ khi $x\to +\infty$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(-\infty ;b\right)$. Ta có hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn là số L khi $x\to -\infty$ nếu dãy số $\left(x_n\right)$ bất kỳ, $x_n<b$ và $x_n\to -\infty$, ta có $f\left(x_n\right)\to L,$ kí hiệu $\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=L$hay $f\left(x\right)\to L$ khi $x\to -\infty$.

Lời giải chi tiết:

$f\left(x_n\right)=1+\frac{2}{x_n-1}$.

$\underset{n\to +\infty }{lim}f\left(x_n\right)=\underset{n\to +\infty }{lim}\left(1+\frac{2}{x_n-1}\right)=1$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 115 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Tính: $\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^2+2}}{x+1}$.

Phương pháp giải:

$a\sqrt{b}=\{\begin{array}{c}\sqrt{a^{2}b}a\ge 0\\ -\sqrt{a^{2}b}a<0\end{array}$.

Lời giải chi tiết:

$\underset{x\to \infty }{lim}\frac{\sqrt{x^2+2}}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\left|x\right|\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}{x+1}$

$=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}=1$.

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 115 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho tam giác vuông OAB với $A=\left(a;0\right)$ và $B=\left(0;1\right)$ như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h.

a) Tính h theo a.

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Pytago để tính h theo a.

Tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $AB=\sqrt{a^2+1^1}$, $AB.OH=OB.OA$

$\Rightarrow h.\sqrt{a^2+1^2}=a\Rightarrow h=\frac{a}{\sqrt{a^2+1^2}}$.

b) $\underset{a\to 0}{lim}\frac{a}{\sqrt{a^2+1^2}}=\underset{a\to 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}}=0$.

Vì vậy khi A dịch chuyển về O thì điểm H dịch chuyển về gần A hơn, và h dần về 0.

c) $\underset{a\to +\infty }{lim}\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\underset{a\to +\infty }{lim}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}}=1$.

Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H dịch chuyển về phía điểm B và h dần về 1.