Giải mục 2 trang 14, 15, 16

KP2

Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 14 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số $f\left(x\right)=2x-1$. Lấy hai nguyên hàm tuỳ ý $F\left(x\right)$ và $G\left(x\right)$ của $f\left(x\right)$, rồi tính $F\left(3\right)-F\left(0\right)$ và $G\left(3\right)-G\left(0\right)$. Nhận xét về kết quả nhận được.

Phương pháp giải:

Tính $\int f\left(x\right)dx$, sau đó chọn hai nguyên hàm $F\left(x\right)$ và $G\left(x\right)$. So sánh $F\left(3\right)-F\left(0\right)$ và $G\left(3\right)-G\left(0\right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\int f\left(x\right)dx=\int \left(2x-1\right)dx=x^2-x+C$

Chọn $F\left(x\right)=x^2-x$ và $G\left(x\right)=x^2-x+1$.

Ta có

$F\left(3\right)-F\left(0\right)=\left(3^2-3\right)-\left(0^2-0\right)=6$

$G\left(3\right)-G\left(0\right)=\left(3^2-3+1\right)-\left(0^2-0+1\right)=6$

Như vậy $F\left(3\right)-F\left(0\right)=G\left(3\right)-G\left(0\right)$.

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tính các tích phân sau:

a) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}2xdx$

b) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin tdt$

c) $\underset{0}{\overset{\ln 2}{\int }}{e}^{u}du$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={F\left(x\right)|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$, với $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)$

Lời giải chi tiết:

a) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}2xdx={x^2|}_1^3=3^2-1^2=8$

b) $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin tdt={\left(-\cos t\right)|}_0^{\pi }=\left(-\cos \pi \right)-\left(-\cos 0\right)=2$

c) $\underset{0}{\overset{\ln 2}{\int }}{e}^{u}du={e^u|}_0^2=e^2-e^0=e^2-1$

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Sau khi xuất phát, ô tô di chuyển với tốc độ $v\left(t\right)=2t-0,03t^2$ $\left(0\le t\le 10\right)$, trong đó $v\left(t\right)$ tính theo $m/s$, thời gian $t$ tính theo giây với $t=0$ là thời điểm xe xuất phát.

a) Tính quãng đường xe đi được sau 5 giây, sau 10 giây.

b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ $t=0$ đến $t=10$.

Phương pháp giải:

Gọi $s\left(t\right)$ (m) là quãng đường ô tô đi được sau $t$ giây.

Ta có $s\left(t\right)$ là nguyên hàm của $v\left(t\right)$.

a) Quãng đường xe đi được sau 5 giây là $s\left(5\right)-s\left(0\right)=\underset{0}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt$

Quãng đường xe đi được sau 10 giây là $s\left(10\right)-s\left(0\right)=\underset{0}{\overset{10}{\int }}v\left(t\right)dt$

b) Tốc độ trung bình của xe là $v_{tb}=\frac{s}{t}$, với $s$ là quãng đường xe đi được trong khoảng thời gian $t=10$ giây.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi $s\left(t\right)$ (m) là quãng đường ô tô đi được sau $t$ giây.

Ta có $s\left(t\right)$ là nguyên hàm của $v\left(t\right)$.

a) Quãng đường xe đi được sau 5 giây là

$s\left(5\right)-s\left(0\right)=\underset{0}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt$

$=\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left(2t-0,03t^2\right)dt={\left(t^2-0,01t^3\right)|}_0^5$

$=\left(5^2-0,{01.5}^3\right)-\left(0^2-0,{01.0}^3\right)=23,75$.

Quãng đường xe đi được sau 10 giây là

$s\left(10\right)-s\left(0\right)=\underset{0}{\overset{10}{\int }}v\left(t\right)dt$

$=\underset{0}{\overset{10}{\int }}\left(2t-0,03t^2\right)dt={\left(t^2-0,01t^3\right)|}_0^{10}$

$=\left({10}^2-0,{01.10}^3\right)-\left(0^2-0,{01.0}^3\right)=90$.

b) Tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ $t=0$ đến $t=10$ là:

$v_{tb}=\frac{s}{t}=\frac{90}{10}=9$ $\left(m/s\right)$.