Giải mục 2 trang 15, 16, 17

Khám phá 2

Giả sử Đ_a là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục a (Hình 3). Xác định tọa độ của A’ và B’ rồi dùng công thức tính khoảng cách để so sánh A’B’ và AB.

Phương pháp giải:

Công thức tính khoảng cách AB: $AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$

Lời giải chi tiết:

+ Ta có A’ là ảnh của A qua

Suy ra a là đường trung trực của đoạn thẳng AA’ hay Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.

Do đó A’ đối xứng với A qua Ox nên chúng có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ $A^{\prime }(x_A;-y_A).$

Tương tự như vậy, ta được tọa độ $B^{\prime }(x_B;-y_B).$

Vậy tọa độ $A^{\prime }(x_A;-y_A),B^{\prime }(x_B;-y_B).$

+ Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)$.

Suy ra $AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$.

Ta lại có $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\left(x_B-x_A;-y_B+y_A\right)$.

Suy ra:

$A^{\prime }{B}^{\prime }=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(-y_B+y_A\right)}^2}=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$.

Vậy $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB.$

Thực hành 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $d:x-y+3=0$ và đường tròn $\left(C\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=9.$

a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua ${Đ}_{Oy}.$

b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua ${Đ}_{Ox}.$

Phương pháp giải:

Nếu $M^{\prime }={Đ}_{Ox}\left(M\right)$ thì biểu thức tọa độ $\{\begin{array}{c}{x}_{M^{\prime }}=x_M\\ y_{M^{\prime }}=-y_M\end{array}$

Nếu $M^{\prime }={Đ}_{Oy}\left(M\right)$ thì biểu thức tọa độ $\{\begin{array}{c}{x}_{M^{\prime }}=-x_M\\ y_{M^{\prime }}=y_M\end{array}$

Lời giải chi tiết:

a) Trục $Oy:x=0.$

Thế x = 0 vào phương trình d, ta được $0-y+3=0\iff y=3.$

Suy ra giao điểm của d và Oy là $P\left(0;3\right).$

Chọn điểm $M\left(1;4\right)\in d:x-y+3=0$

Ta đặt $M^{\prime }={Đ}_{Oy}\left(M\right).$

Suy ra Oy là đường trung trực của MM’ hay M’ là điểm đối xứng với M qua Oy.

Do đó hai điểm M và M’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ điểm M’(–1; 4).

Ta có $\overrightarrow{M^{\prime }P}=\left(1;-1\right)$

Gọi d’ là ảnh của d qua ${Đ}_{Oy}.$

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{M^{\prime }P}=\left(1;-1\right)$.

Suy ra d’ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{d^{\prime }}=\left(1;1\right)$

Vậy đường thẳng d’ đi qua P(0; 3) và có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{d^{\prime }}=\left(1;1\right)$ nên phương trình d’ là: $1.\left(x-0\right)+1.\left(y-3\right)=0\iff x+y-3=0.$

b) Đường tròn (C) có tâm I(–1; –2), bán kính R = 3.

Ta đặt $I^{\prime }={Đ}_{Ox}\left(I\right).$

Suy ra Ox là đường trung trực của II’ hay I’ đối xứng với I qua Ox

Do đó hai điểm I và I’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ điểm I’(–1; 2).

Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua Đ_Ox.

Suy ra (C’) có tâm I’(–1; 2), bán kính $R^{\prime }=R=3.$

Vậy phương trình đường tròn $\left(C^{\prime }\right):{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=9.$

Vận dụng 1

Cho hai điểm A, B là vị trí của hai nhà máy nằm cùng một phía bờ sông là đường thẳng d. Tìm trên bờ sông một địa điểm M để xây dựng một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ trạm bơm về hai nhà máy là ngắn nhất (Hình 7).

Phương pháp giải:

Quan sát hình 7, suy luận để tìm chiều dài đường ống dẫn là ngắn nhất.

Lời giải chi tiết:

Gọi A’ là ảnh của A qua d.

Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.

Mà $M\in d$  (giả thiết), do đó $MA=M{A}^{\prime }.$

Vì AB cố định nên A’B cũng cố định.

Ta có $MA+MB=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B$ (theo bất đẳng thức tam giác).

Suy ra MA + MB ngắn nhất khi và chỉ khi MA' + MB = A'B.

Tức là, ba điểm A’, M, B thẳng hàng hay M là giao điểm của A’B và d.

Vậy địa điểm M cần tìm là giao điểm của bờ sông (đường thẳng d) với đường thẳng A’B, trong đó A’ là ảnh của A qua d.